Основы математической теории выборочного метода

Общие сведения о выборочном методе

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты (элементы, единицы) совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов. Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающая все население страны. Выборочными наблюдениями являются, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т. д.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов {наблюдений) называется генеральной совокупностью. В математической статистике понятие генеральной совокупности трактуется как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий, и в этом смысле его не следует смешивать с реальными совокупностями, подлежащими статистическому изучению. Так, обследовав даже все предприятия подотрасли по определенным технико-экономическим показателям, мы можем рассматривать обследованную совокупность лишь как представителя гипотетически возможной более широкой совокупности предприятий, которые могли бы функционировать в рамках того же реального комплекса условий.

Понятые генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины {закону распределения вероятностей, вероятностному пространству), так как полностью обусловлено определенным комплексом условий.

Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой. Числа объектов (наблюдений) в генеральной или выборочной совокупности называются их объемами. Генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем.

Выборку можно рассматривать как некий эмпирический аналог генеральной совокупности. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности {по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом.

Концепция выборки лежит в основе методологии математической статистики.

Отметим преимущества выборочного метода наблюдения по сравнению со сплошным:

• • позволяет существенно экономить затраты ресурсов (материальных, трудовых, временных);
• • является единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследование связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например, исследование долговечности электрических лампочек, предельных режимов работы приборов и т. п.);
• • позволяет снизить ошибки регистрации, т. е. расхождения между истинным и зарегистрированным значениями признака.

Основной недостаток выборочного метода — ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности (представительства), о которых речь пойдет ниже.

Однако неизбежные ошибки, возникающие при выборочном методе исследования в связи с изучением только части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к практически незначимым величинам. Между тем использование сплошного наблюдения даже там, где это принципиально возможно, не говоря уже о росте трудоемкости, стоимости и увеличении необходимого времени, часто приводит к тому, что каждое отдельное наблюдение поневоле проводится с меньшей точностью. А это уже сопряжено с неустранимыми ошибками и в конечном счете может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Случайность отбора элементов в выборку достигается соблюдением принципа равной возможности всем элементам генеральной совокупности быть отобранными в выборку. На практике это достигается тем, что извлечение элементов в выборку проводится путем жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел, имеющихся в специальных таблицах или вырабатываемых ЭВМ с помощью датчика случайных чисел.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Различают следующие виды выборок:

• • собственно-случайная выборка, образованная случайным выбором элементов без расчленения на части или группы;
• • механическая выборка, в которую элементы из генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. Например, если объем выборки должен составлять 10% (10%-ная выборка), то отбирается каждый 10-й ее элемент и т. д.;
• • типическая (стратифицированная) выборка, в которую случайным образом отбираются элементы из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность;
• • серийная (гнездовая) выборка, в которую случайным образом отбираются не элементы, а целые группы совокупности (серии), а сами серии подвергаются сплошному наблюдению.

Используют два способа образования выборки:

• • повторный отбор (по схеме возвращенного шара), когда каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран;
• • бесповторный отбор (по схеме невозвращенного шара), когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Математическая теория выборочного метода основывается на анализе собственно-случайной выборки. Рассмотрением этой выборки мы и ограничимся.

Обозначим:

Xj — значения признака (случайной величины X);

N и п — объемы генеральной и выборочной совокупностей;

Nj и и, — число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака xf,

М и т — число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

Средние арифметические распределений признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно генеральной и выборочной средними, а дисперсии этих распределений — генеральной и выборочной дисперсиями. Отношение числа элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих некоторым признаком Л, к их объемам, называются соответственно генеральной и выборочной долями. Все формулы сведем в таблицу (табл. 9.1).

Таблица 9.1.

Замечание. В случае бесконечной генеральной совокупности [N = оо) под генеральными средней и дисперсией понимается соответственно математическое ожидание а = х₀ и дисперсия а² распределения признака X (генеральной совокупности), а под генеральной долей р — вероятность данного события.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (.характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к определенным параметрам генеральной совокупности.