Основные элементы эконометрической модели

В рамках эконометрического анализа обычно ставится задача определения некоторой величины (показателя), значение которой формируется под воздействием некоторых факторов. Так, цена на подержанный автомобиль может зависеть от года выпуска, пробега, мощности двигателя и т. и. Такие показатели, как, например, цена, обычно называют зависимыми

(объясняемыми) переменными, а факторы, от которых они зависят, — объясняющими переменными (факторами). Нас обычно интересует среднее или ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих переменных.

Конкретное значение зависимой переменной (наблюдаемое значение) обычно зависит и от случайных явлений. В примере с автомобилем случайным может быть состояние рынка, характер продавца и т. д. Для экономики типична такая форма связи между переменными величинами, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное значение другой переменной, а множество возможных значений (более точно — некоторое условное распределение) другой переменной. Такая зависимость называется статистической (стохастической, вероятностной). Стохастическая форма связи обуславливается тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных обычно сопровождается некоторыми случайными ошибками.

Таким образом, зависимая переменная является случайной величиной, имеющей при заданных значениях факторов некоторое распределение. В любой эконометрической модели зависимая переменная обычно разбивается на две части: объясненную и случайную. В общем виде задача эконометрического моделирования состоит в следующем [7]:

На основании эмпирических данных определить (оценить) объясненную часть зависимой переменной и, рассматривая случайную составляющую как случайную величину, получить оценки ее параметров распределения.

Обозначим зависимую переменную через у, ее объясненную часть, зависящую от значений объясняющих переменных Х = (лг₁, д:₂,…, л‘_>) через /(X) (т. с. объясненная часть представляет собой функцию от значений факторов), а случайную составляющую (называемую также возмущением или ошибкой) — через е. Тогда в общем виде эконометрическая модель имеет вид:

В качестве объясненной части /(X) случайной величины у естественно выбрать сс среднее (ожидаемое) значение при заданных значениях X, иными словами, условное математическое ожидание Е_х(у), полученное при данном значении объясняющих переменных, Х = (х₁₉х₂₉…, х_к):

Это уравнение (зависимость) называется теоретическим уравнением регрессии, функция /(X) — теоретической функцией регрессии, а уравнение.

называется уравнением регрессионной модели.

В силу своего определения регрессионная модель обладает особыми свойствами. Так, взяв от обеих частей равенства математическое ожидание при заданном наборе значений объясняющих переменных, получаем, что.

а значит, что и Е (е) = 0, т. с. в регрессионной модели среднее значений случайной ошибки равно нулю. Это свойство оказывается весьма существенным условием, влияющим на статистические свойства получаемых результатов.

Исходной точкой любого эконометрического исследования является выборка наблюдений зависимой переменной у и объясняющих переменных x_J9j = ,…₉k. Такие выборки представляют собой наборы значений (х_П9х_П9…₉х^₉у^₉ где / = 1,…, л — номер наблюдения, к — количество объясняющих переменных (факторов). Обычно выделяются два типа выборочных данных [7]:

• • пространственная выборка (cross-sectional data) — набор экономических показателей, полученных в некоторый момент времени (или в относительно небольшом промежутке времени), т. е. набор независимых выборочных данных из некоторой генеральной совокупности (т. к. практически независимость случайных величин проверить трудно, то обычно за независимые принимаются величины, не связанные причинно);
• • временной (динамический) ряд (time-series data) — выборка, в которой важны не только сами наблюдаемые значения, но и порядок их следования друг за другом. Чаще всего данные представляют собой наблюдения одной и той же величины в последовательные моменты времени.

Необходимо, однако, заметить, что такое разделение во многом условно и определяется целью и содержанием исследования.

После того, как определен набор объясняющих переменных, получены эмпирические (выборочные) данные. Для точного описания уравнения регрессии необходимо найти объясненную часть зависимой переменной у, обозначенную нами через /(X) (как указывалось выше, представляющую собой условное математическое ожидание). Однако на практике точное ее определение, как правило, невозможно, поэтому можно говорить только об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) теоретической функции регрессии по выборке. Стандартная процедура оценивания состоит в следующем:

шаг 1. Выбирается вид функции /(X) (точнее, параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция, рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X);

шаг 2. С помощью методов математической статистики находятся оценки параметров этой функции.

Важно иметь в виду, что в общем случае не существует формальных способов выбора наилучшего семейства функций /(X) на шаге 1. Очень часто выбирается семейство линейных функций. Выбор линейной модели, кроме вполне очевидного преимущества — простоты, имеет ряд существенных математических оснований, оправдывающих этот выбор.

В целом формулировку исходных предпосылок и ограничений, выбор структуры уравнения модели, представление в математической форме обнаруженных взаимосвязей и соотношений, установление состава объясняющих переменных называют спецификацией модели. Or того, насколько удачно решена проблема спецификации, в значительной степени зависит успех всего процесса эконометрического моделирования.

Оценку теоретической функции регрессии, построенную по эмпирическим данным, обозначим через у. Уравнение.

полученное по выборке, где у — оценка условной средней переменной у при значениях переменных X = (jt, x₂,…,**), В — вектор параметров функции / (которая является аппроксимацией функции /), называется выборочным (эмпирическим) уравнением регрессии {модельной функцией регрессии).

Итак, можно выделить несколько основных этапов эконометрического моделирования и анализа [1,7]:

этаи 1. Постановочный — формируется цель исследования (анализ экономического объекта, прогноз его показателей, имитация развития, выработка управленческих решений), теоретическое обоснование выбора переменных: этап 2. Априорный — анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация имеющейся информации; этап 3. Параметризация — выбор вида модели (вида функции /(X)), анализ взаимосвязей и спецификация модели; этап 4. Информационный — сбор необходимой статистической информации — наблюдаемых значений переменных; этап 5. Идентификация модели — статистический анализ модели и оценка ее параметров;

этап 6. Верификация модели — проверка адекватности, статистической значимости модели.