Дисперсия альтернативного признака

Признак, у которого имеются только два взаимоисключающих варианта значений, принято называть альтернативным признаком. В качестве примера такого признака можно привести пример годной (качественной) и бракованной (некачественной) продукции, которая произведена предприятием. Эквивалентом такого признака можно считать переменную Х_ь которая принимает значение «1» или «О». Значение «1» устанавливается, когда обследуемая единица совокупности обладает изучаемым признаком, значение «О» — когда обследуемая единица совокупности не обладает изучаемым признаком.

Например, имеются данные о том, что доля единиц, которая обладает признаком, — это годная продукция (р), и данные о том, что доля единиц, которая не обладает признаком, — это бракованная продукция (q). Тогда получаем, что р + q = 1.

Преобразуя среднюю арифметическую взвешенную, получаем.

Отсюда можно заключить, что среднее значение альтернативного признака будет равно частости варианты, которая обладает этим признаком (X = р). Для расчета дисперсии альтернативного признака воспользуемся ранее приведенной формулой (5.4):

Таким образом, среднее значение альтернативного признака равно частости варианты, обладающей этим признаком: X — р.

Дисперсию альтернативного признака рассчитаем следующим образом:

Заменив в этом выражении (1 — р) на q, получим.

или.

Таким образом, дисперсия альтернативного признака будет равна произведению доли единиц, которые обладают этим признаком, на долю единиц, которые не обладают этим же признаком.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака составляет 0,25 (когда р = q = 0,5).

Рассмотрим расчет показателя дисперсии альтернативного признака на практическом примере.

Пример 5.2.

Известно, что качественные товары составили 85% всех отобранных при проверке товаров. Следовательно, на долю бракованных пришлось 15%. Тогда, с учетом вышесказанного, среднее значение альтернативного признака составит.

Отсюда, рассчитываем дисперсию среднего альтернативного признака:

Рассчитываем среднее квадратическое отклонение:

Итак, расчет показал, что средняя колеблемость альтернативного признака невысока, поскольку среднее квадратическое отклонение составляет всего 0,36%.