Управленческие параллели. 
Основы управления в условиях хаоса. 
Антикризисное управление

Классическими дробными пространствами являются современные ниши и маркетинговые сегменты в условиях перенасыщенного рынка. Они — как дыры в ткани из пересекающихся нитей спроса и предложения, причем появление их хаотично (внезапно и непредсказуемо), площадь каждой нишки может быть совершенно незначительна, но, будучи собраны вместе, они по объему добавленной стоимости и влияния в социуме формируют виртуальную компанию-монстра (империю), которая сравнится с любой статичной упорядоченной корпорацией. Секрет виртуальной империи в том, что такие маленькие нишки никогда не будут выгодны сколь-нибудь большим компаниям нехаотического типа, так как их освоение приводит к катастрофическому росту издержек. И только в режиме самоокупаемости и самоорганизации силами своих людей всегда в режиме кооператива их можно освоить.

Фракталы и детерминированный хаос. В 1776 г. физик П.-С. Лаплас декларировал всеобщую зависимость и детерминизм: «Если вы знаете исходные условия любой ситуации, вы можете определить будущее далеко вперед. Текущее состояние системы природы, очевидно, является следствием того, что было в предшествующий момент, и, если мы предоставим разуму сведения обо всех взаимоотношениях объектов нашей Вселенной, возможно стало бы определить позиции, движения и взаимодействие всех этих объектов в любое время в прошлом или будущем». Лапласова Вселенная всего лишь гигантский бильярдный стол. Если вы знаете, как располагались шары и умеете просчитывать их траектории, верный шар всегда будет падать в предназначенную лузу.

Самомнение Лапласа по поводу его (или его «разума») способности предсказывать будущее абсолютно не противоречило уравнениям и точке зрения классической механики. В то время не существовало неравновесной термодинамики, квантовой физики или теории хаоса.

Однако всего лишь чуть больше века спустя французский математик А. Пуанкаре, изучавший движение планет, был вынужден высказаться менее оптимистично: «Может случиться, что маленькие различия в исходных условиях произведут большие изменения в конечных явлениях. Маленькая ошибка в прошлом впоследствии приведет к огромной ошибке. Предсказание становится невозможным» (1903). Другими словами, он начал понимать, что детерминированные системы обладают свойством существенной зависимости от начальных условий. Как ни странно, оно не эквивалентно случайному поведению. По сути дела, математический хаос — это характерная черта именно детерминированных динамических систем. Поэтому наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только кажутся случайными — их значения полностью предопределены входными параметрами. Как известно, на компьютере случайные числа (точнее, псевдослучайные числа) генерируются простыми детерминированными уравнениями.

Но на практике мы никогда не располагаем абсолютно точной информацией о начальных условиях. Ошибки, пусть и ничтожные, всегда имеют место при измерении входных параметров. То, что кажется нам случайным результатом на выходе динамической системы, обусловлено большими ошибками, которые могут появиться, когда система ведет себя хаотично. Ошибка предсказания может развиваться по экспоненте до бесконечности (экспонента Ляпунова).

Как уже неоднократно отмечалось, хаотические системы очень чувствительны к начальным состояниям.

Для доказательства этого исследуем простую систему (называемую логистическим уравнением) с единственной переменной, проявляющейся как на входе, х (п), так и на выходе, х (п + 1):

Система нелинейна, потому что, если перемножить правую сторону уравнения, получится выражение х (п)². Так что выход не пропорционален входу. Предположим х (п) = 0,75. Тогда на выходе будет:

Допустим, это уравнение описывает динамику цен рынка. При таких начальных условиях рынок находится в равновесии, потому что сегодняшняя цена (0,75) завтра генерирует ту же самую цену. Величина 0,75 называется фиксированной точкой уравнения, потому что использование ее в качестве входа возвращает ее же в качестве выхода. Она остается фиксированной, а не преобразуется в новое число.

Теперь внесем малое возмущение на вход системы, всего лишь 0,01% от фиксированной точки уравнения, т. е. рынок начинается при х (0) = 0,7499. Выход:

Используя выход предыдущего дня х (1) = 0,7502 в качестве следующего входа, мы получим новый выход:

И так далее. В следующей итерации (повторении) новая величина выхода используется как величина входа, чтобы получить другую величину выхода.

Повторим весь процесс, внеся еще более слабое возмущение (всего лишь 0,001%!), подав на первый вход х (0) = 0,74 999. Из табл. 4.1, где представлены данные по 20-му шагу всех трех процессов, видно, что всего за два десятка итераций расхождение с 0,001% увеличивается соответственно до 47,9 и 32,6%, т. е. в десятки тысяч раз! Ясно, что мелкие различия в стартовых величинах приводят к большой разнице в результатах после нескольких шагов. Уравнение чрезвычайно чувствительно к начальным условиям.

Таблица 4.1

Точно предсказать на долгий период (20 итераций и более) поведение даже такой примитивной системы, «вырабатывающей» хаос, невозможно.

Если известны погрешность определения начальных условий е и значение экспоненты Ляпунова X, можно узнать только, на какой итерации п уравнение выйдет за пределы заданного нами интервала R:

Об этом «взрыве по экспоненте» упоминалось в начале параграфа. Из формулы видно, что при X < 0 увеличение значения аргумента п приведет к уменьшению значения самой функции, а следовательно, к увеличению устойчивости и предсказуемости системы. Поэтому чтобы система оставалась хаотичной, должно иметь место X > 0.

Графические изображения траекторий динамических уравнений выглядят весьма причудливо. Однако всем им присуща общая черта: существуют такие пространственные области, которые как бы притягивают к себе траектории уравнения.

На рис. 4.7 приводится пример графической реализации решения уравнений подобной динамической системы. В данном случае показано, как система Лоренца изменяется во времени в трехмерном пространстве, петляет вокруг снова и снова, никогда не пересекая себя, причем система сохраняет вращение вокруг двух общих областей, как будто она притянута к ним.

Рис. 4.7 Система (аттрактор) Лоренца.

Области, где система «чувствует необходимость» пойти в некотором направлении, называется бассейном притяжения, а место (места), куда она движется, называется аттрактор (точка притяжения).

Вот, например, уравнение, где аттрактор — единственная точка — ноль:

Независимо от того, с какой величины начинается первая итерация для х (п), следующая величина, х (п + 1), будет составлять только 90% от нее. Если продолжить итерировать уравнение, величина х (п + 1) приближается к нулю.

Так как аттрактор в данном случае — единственная точка, это — одноточечный аттрактор. Некоторые аттракторы имеют форму кругов или замкнутых петель, похожую на обрывок нитки со связанными концами. Они называются предельными циклами.

Другие аттракторы, как уже показанный выше аттрактор Лоренца, являются поистине сверхъестественными (табл. 4.2). Они называются странными аттракторами. Такие модели прослеживаются в самоорганизующихся системах. В других областях науки используют иные названия, чем странные аттракторы. В биологии (или социобиологии) они относятся к коллективным моделям животного (или социального) поведения. В психологии Юнга такие модели могут называться архетипами.

С нашей точки зрения, наиболее интересный вопрос теории фракталов и хаоса состоит в том, как связать эти понятия воедино. Если подобные модели представляются странными аттракторами на различных масштабах, управляемыми некоторым множителем или фактором масштаба гг, они считаются фракталами, имеют фрактальную размерность D, связанную отношением N = r^D.

Сравнение аттрактора Лоренца и жизненного цикла упорядоченной системы.

Таблица 4.2

Таким образом, уравнения хаоса, подобные приведенным здесь, генерируют фрактальные модели. Хаос порождает фракталы — странные аттракторы, снабжает их своими ресурсами, подступая к ним сколь угодно близко, но никогда не нарушая четких пространственных границ. А из этого, в свою очередь, можно сделать важный теоретический вывод: в условиях хаотически изменяющейся внешней среды наибольшую устойчивость и жизнеспособность будут иметь системы, построенные по образу и подобию фрактала.

Основные теоретические свойства такой системы. Будут представлены далее.

Пример фрактализации организации. Предприятие ЗАО «Р» создано в 1996 г. Цель — производство и реализации молочной продукции. Оригинальная рецептура и технология производства позволили предприятию в кратчайшие сроки найти «свое место под солнцем», а через «несколько лет» — и потеснить признанных лидеров отрасли: в 2001 г. доля рынка ЗАО «Р» по одному из видов продукции составила 70% (по данным компании «СканМаркет»).

В немалой степени этому способствовала организация сбыта по принципу, весьма напоминающему франчайзинг, с той разницей, что в нашем случае реализаторы — франчайзи — не являются юридически обособленными хозяйствующими субъектами. Не являясь таковыми де-юре, де-факто они получили полную самостоятельность и обособленность. Реализаторы самостоятельно определяют кадровый состав своего подразделения-фрактала; занимаются активным поиском новых оптовых и розничных клиентов и обслуживанием уже имеющихся; самостоятельно определяют ценовую политику для покупателей, мотивационные и стимулирующие программы для сотрудников.

Ограничений здесь немного, первое и основное — территориальное. Вход на чужую территорию — преступление страшное, и наказание тому соответствующее. Исключений нет ни для кого, впрочем, и прецедентов в последние годы тоже. И второе: для человека с улицы доступ на нижний ценовой уровень, т. е. на уровень цен для основных фракталов, закрыт. Можно лишь «отпочковаться» от уже существующих уровней и начать рост в новом направлении. В остальном же фракталы абсолютно автономны.