Гармонический анализ периодических сигналов

Базисная система гармонических функций. — Тригонометрический ряд Фурье. — Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. — Комплексный ряд Фурье. — Понятие отрицательной частоты. — Историческая справка. — Спектры простейших периодических сигналов. — Условия и теорема Дирихле. — Явление Гиббса. — Распределение мощности в спектре периодического сигнала. — Практическая ширина спектра периодического сигнала.

Базисная система сигналов

Функция x (t), описывающая периодически повторяющийся во времени сигнал, удовлетворяет условию.

где Т — период повторения сигнала.

При формировании математической модели периодического сигнала могут использоваться различные системы ортогональных функций. Однако наибольшее распространение получила система, в которой базис образуют ортогональные гармонические функции:

Здесь оз, = 2л/Г — основная частота.

Это объясняется тем, что сигнал, описываемый гармонической функцией, сохраняет свою форму при прохождении через линейные системы. Если на входе линейной системы действует гармонический сигнал, то и выходной сигнал по окончании переходного процесса будет гармоническим, отличаясь от входного лишь амплитудой и фазой. Графики нескольких первых функций системы показаны на рис. 2.1.

Система тригонометрических функций (2.1) является полной и ортогональной на интервале, длительность которого равна Т = 2л/со,. Условия ортогональности имеют следующий вид:

Рис. 2.1. Базисные тригонометрические функции.

В качестве примера покажем справедливость соотношения (2.2). Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

После этого для первого интеграла при я * т найдем.

При п-т получим.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости соотношений (2.3) и (2.4).