Виды дисперсий и правила их сложения

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также между группами. Это связано с тем, что общая дисперсия характеризует вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности. Если же необходимо выделить в составе общей дисперсии ту ее часть, которая обусловлена влиянием какого-либо определенного фактора, то следует разбить изучаемую совокупность на группы, положив в основу группировки интересующий нас фактор. Затем нужно изучить раздельно вариацию признака внутри однородных, но отношению к данному фактору групп и изменение величины признака от группы к группе. Выполнение такой группировки позволит разложить общую дисперсию признака на две дисперсии, одна из которых будет характеризовать часть вариации, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, а вторая — вариацию, происходящую под влиянием остальных факторов. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам. В связи с этим различают три вида дисперсий:

• — общую;
• — межгрупповую;
• — среднюю внутригрупповую.

Общая дисперсия (ст²) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле.

где х₀— общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия 5² (дисперсия групповых средних), которая является мерой разброса частных средних по группам х_к вокруг общей средней ж₀ и вычисляется по формуле.

где т — число групп; п_к — число единиц совокупности в k-n группе; х_к — частная средняя величина по k-ii группе; д₀ — общая средняя величина всей исследуемой совокупности.

(о²) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием остальных факторов и которая нс зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Поэтому ее называют еще остаточной дисперсией. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (а?).

а затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия (а):

где Xj — единицы совокупности, входящие в k-ю группу.

Все три вида дисперсии связаны между собой соотношением, определяемым правилом сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Согласно этому правилу общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Соотношение межгрупповой и общей дисперсии называется коэффициентом детерминации R², который показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки:

Замечание. Для определения степени связи между признаками используют корреляционное отношение (г)), введенное Пирсоном. Оно тесно связано с коэффициентом детерминации:

Прежде всего отметим, что корреляционное отношение может принимать значения только от 0 до 1. Величина корреляционного отношения будет равна 0, когда нет влияния исследуемого фактора на вариацию признака, т. е. вариация обусловлена влиянием других неучтенных факторов. В тех случаях, когда средняя внутригрупповая дисперсия близка к 0, т. е. практически вся вариация признака обусловлена действием исследуемого фактора, величина корреляционного отношения близка к 1.

На практике обычно полагают, что если 0 < г < 0,3, то между признаками существует слабая связь, если 0,3 < г| < 0,5 — умеренная; 0,5 < Г| < 0,7 — заметная, 0,7 < г| < 0,9 — высокая, а если 0,9 < ц < 1, то сильная связь.

Пример. По результатам статистического исследования о влиянии уровня образования на уровень оплаты труда сотрудников (табл. 4.7) определить долю вариации заработной платы, обусловленную различиями в уровне образования сотрудников (данные условные).

Таблица 4.7

Влияние уровня образования на уровень оплаты труда сотрудников.

Решение. Вычисляем общее среднее значение, межгрупповую и среднюю внутригрупповую дисперсии:

Тогда общая дисперсия равна.

Следовательно, коэффициент детерминации равен.

Полученный коэффициент детерминации показывает, что вариация в оплате груда на 87% зависит от уровня образования сотрудников.