Дифференцирование функции нескольких переменных

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Частные производные функции нескольких переменных

Пусть функция f (M) определена в некоторой окрестности точки М евклидова пространства Е^т. Рассмотрим в данной точке М отношение частного приращения Д_чи (см. формулу (14.15) в п. 14.4.2) тс соответствующему приращению Дх_А аргумента х_к при условии, что точка Л/_А, полученная изменением координаты х_к точки Л/, также находится в указанной окрестности точки М:

Определение I. Если существует предел отношения частного приращения функции Д_Xtu в точке Л/(х, х₂, …" х_т) к соответствующему приращению аргумента Дх_А, то этот предел называется частной производной функции /(Л/) в точке Л/ по аргументу х_к и обозначается одним из символов:

Следовательно, согласно данному определению.

Таким образом, частная производная функции и = Л/(х_р х₂,… х_т) по аргументу х_к является обыкновенной производной функции одной переменной х_к при фиксированных значениях других переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значениях других координат.

Найдем частные производные следующих функций.

Пример 1. и = х² — 2ху + 2у².

Сначала дифференцируем функцию и =/(х> у) по х, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем эту же процедуру, меняя роли х и у. Получаем:

Пример 2. и = arctg ху. Тогда.

Пример 3. и — ye^yz + In (х² — 2у + г).

Частные производные этой функции трех переменных имеют следующие формулы:

Пример 4. и = sin (e^2x — yz).

Пример 5. Найти скорости изменения объема продукции Q при изменениях одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L ио функции Кобба — Дугласа (см. формулу (14.12) в п. 14.2.5).

Решение этой задачи дают частны^ производные данной функции.

Очевидно, что в функции Кобба — Дугласа показатели степеней, а и 1 — а представляют собой соответственно коэффициенты эластичности E_K(Q) и E_L(Q) по каждому из входящих в нее аргументов.

Отметим два весьма важных момента для функций нескольких переменных. 1. Из существования в данной точке всех частных производных функции /(Л/), вообще говоря, нс следует, что функция непрерывна в этой точке. Мы уже знаем, что функция.

нс является непрерывной в точке 0(0, 0) (см. п. 14.4.2, пример 13). Тем не менее в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и у, равные нулю.

где Л/ — внутренняя точка множества {Л/} задания функции и = ДМ) и существования ее частных производных.

2. Понятие частных производных определено для внутренних точек множества задания {Л/} функции ДМ). Для граничных точек оно в общем случае непригодно, поскольку для этих точек не всегда можно определить точку М_к, соответствующую приращению аргумента х_к (рис. 15.1). В таком случае по определению полагают, что для граничной точки М_в частные производные определяются, как предел.