Нормированные поли. 
Числовые системы

Введенное выше понятие w-адической нормы появилось как аналог модуля числа. Однако аналог привычного свойства модуля: «модуль произведения равен произведению модулей» для w-адической нормы при составном т не имеет места. В самом деле, например, при т = 10.

имеем: |2|₁₀=1, |5|,"=1, а 12−51₁₀=|Ю|₁₀=— ^121₁₀-|5|₁₀. Если же.

т = р — простое число, то все в порядке. Отметим основные свойства /;-адической нормы при простом р.

• 5.8.14. Теорема. Пусть дано поле р-адических чисел О_р при некотором простом р с р-адической нормой _р. Для любых a, fie Р имеем:
• 1) |а|_р=0 а = 0;
• 2) ар_р=а_р-р_р,
• 3) а+р_р<�тэх.{а_р, р_р}.

Доказательство. Свойства 1) и 2) доказываются совсем просто. Докажем свойство 3). Если хотя бы одно из /7-адических чисел а, р равно нулю, то утверждение очевидно. Пусть а* 0, /?*0.

и а = а'(_р)^к, fi = fi'(_p)ⁿ — стандартные формы чисел а и/?,.

и пусть к<�п. Тогда a_p=-^j>-^= fi_p, гак что.

тих{а_р, р_р} = а_р. С другой стороны, имеем: а + р=

а' (_р)^к+Р' (_р)^п=(а' + Р' (_р)" -^к) (_р)^к, несли а+р=

а + р=<=а_р ?

Р Р

Так как QczQ_pt то р-адическая норма на поле р-адических чисел индуцирует р-адическую норму на поле рациональных чисел. Пусть, например, р = 7, найдем 7-адическую норму числа я = 2597₁₀. Запишем его в виде целого 7-адического числа:

Таким образом, а = 2597.

ю.

.10 400₇ =…104-(10₇)‘.

. Замечаем, стандартная форма числа а в Q₇. Следовательно, ||₇= —^.

V

что если я, =…104₇, то а = а_х-1² w (a_xJ) = . Из этого примера подмечаем, что для нахождения р-адической нормы целого числа аФ 0 его надо представить в виде а-а_х р^, где (я, р) = 1, и тогда.

Пусть теперь дано рациональное число а — —, где а и b целые,.

Ь

Ъф0. Тогда ab-a, откуда а-Ь_р=а_р -Ь=а_р. Следовательно,.

| а _р= -—-. Представим а и b в виде а = а_х— р", b = b_x— р^т, где I & р

И, Р^{т 1}

и | а |_;,= 1• Отсюда вытекает следующая стратегия.

" я нахождения р-адическои нормы ненулевого рационального числа —:

b

нужно его представить в виде — = — /?*, где НОД (я,/?) = 1, НОД.

b />|.

Итак, на элементах поля рациональных чисел О можно определить понятие модуля числа обычным способом | | и в виде /?-адической нормы | _р. Введем общее понятие, объединяющее оба примера.

• 5.8.15. Определение. Поле Р называется нормированным, если для каждого элемента аеР однозначно определено неотрицательное действительное число ||#||, называемое нормой элемента а, причем выполняются следующие условия:
• 1) ||д|| = 0 <*а = 0;
• 2) ||в-Д||=И|-||б||;
• 3) ||_в+*||?||_в|| + ||6||.

Заметим, что это определение можно сделать еще более общим, если в нем || а || определить как неотрицательный элемент фиксированного упорядоченного поля.

Норма |||| называется тривиальной, если ||0|| = 0 и||я|| = 1 для всякого аФ 0. Таким образом, поле рациональных чисел может быть превращено в нормированное поле по меньшей мере тремя принципиально различными способами: введением тривиальной нормы, введением нормы | | или нормы | _р. Теорема Островского утверждает, что на поле рациональных чисел этими примерами по существу исчерпываются все возможные нормы. Но прежде, чем привести эту теорему, введем необходимые понятия.

5.8.16. Определение. Элемент а нормированного поля Р с нормой | называется пределом последовательности (а_п) по норме || ||,.

если для любого рационального числа е>0 существует номер п₀ такой, что для всякого п>п₀ выполняется неравенство а-а_п При этом пишут: lim а_п=а, непременно добавляя: по норме || ||.

и—.

Последовательность (а_п) называют сходящейся по норме || || (к элементу а).

5.8.17. Определение. Пусть дано нормированное поле Р с нормой || ||.

Последовательность элементов (а_п) поля Р называется.

фундаментальной по норме || || (или последовательностью Коши), если для любого рационального числа е > 0 существует номер и₀ такой, что для всех номеров к >п₀, т> п₀ выполняется неравенство.

I <*к~^ат 11<^;

5.8.18. Определение. Пусть дано нормированное иоле Р с нормой || ||. Две фундаментальные по норме || || последовательности^,) и (Ь_п) называются эквивалентными по норме || ||, если lim (а_п -Ь_п) = 0.

Легко доказать, что так определенное отношение на множестве всех фундаментальных последовательностей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности. Таким образом, множество всех фундаментальных последовательностей разбивается на классы эквивалентных последовательностей.

• 5.8.19. Определение. Два нормирования поля Р называются эквивалентными, если классы эквивалентных по той и другой норме фундаментальных последовательностей совпадают.
• 5.8.20. Теорема Островского. Каждая нетривиальная норма || || на поле рациональных чисел О эквивалентна либо р-адической норме _р, либо норме | |.

Доказательство теоремы мы опускаем (его можно найти, например, в [7]).

Обратим внимание на условие 3) в определении 5.8.15 и заметим, что р-адическая норма | _р на поле р-адических чисел Q_p (а значит и на поле рациональных чисел Q) удовлетворяет более сильному условию, доказанному в теореме 5.8.14: | а + р_р < тах{ | а _рч | /?1^} для любых а, р е Q_p. Это приводит к следующему общему понятию.

5.8.21. Определение. Норма || || нормированного поля Р называется неархимедовой, если 11 а + b | < max {11 а | |, 11 b } для любых элементов а, ЬеР. В противном случае норма называется архимедовой.

Таким образом, р-адическая норма | _р на поле р-адических чисел Q_p является примером неархимедовой нормы, а норма | | на поле действительных чисел R является архимедовой.

Абстрактная характеризация поля р-адических чисел и поля действительных чисел с помощью понятия нормы Перепишем для нормированного поля определение суммы ряда. Это поможет нам абстрактно (аксиоматически) охарактеризовать поле радических чисел.

5.8.22. Определение. Элемент а нормированного поля Р с нормой || || называется суммой ряда а₀ + я, +. .по норме || ||, если а = lim S" по норме я—юо.

||||, где S_n = а₀ +а_] +…+ а_п — частичная сумма ряда.

5.8.23. Определение. Пусть дано нормированное поле Р с неархимедовой нормой || ||, содержащее поле рациональных чисел.

О. Будем говорить, что элемент аеР представим в виде радического числа, а = .а_та_т__х.а^₉а__х.а__к по неархимедовой норме || ||, если а есть сумма ряда по норме || ||: ^{Л = а}-*(Юр)^_* + …+ я__|(10_/))"^| +а₀ + а, (10^)+ «(10^)» ' +…

Введем аналогичное понятие представимости элемента нормированного поля десятичной дробью.

5.8.24. Определение. Пусть дано нормированное поле Р с архимедовой нормой || ||, содержащее поле рациональных чисел Q. Будем говорить, что элемент аеР представим в виде десятичной дроби а₀, а_ха₂… по архимедовой норме || ||. если а есть сумма ряда по норме || ||: а=а₀ + а₁~¹ +а₂Ю^-2 + …

5.8.25. Теорема. Поле Р изоморфно полю р-адических чисел Q_p тогда и только тогда, когда Р содержит поле рациональных чисел Q и на Р можно так определить нетривиальную неархимедову норму || ||, что всякий элемент из Р представим в виде единственного р-адического чист и всякое р-адическое число является представлением единственного элемента из Р.

Доказательство. (=>) Пусть (р — изоморфизм поля Р на поле /?-адических чисел Q_p. Поскольку поле Q_p содержит поле рациональных чисел, то таким же свойством обладает и поле Р. Не нарушая общности, можно считать, что Q_p и Р содержат поле рациональных чисел О и (р действует на нем тождественно.

Для любого аеР положим а = ср{а)_р. Тогда ||я|| = 0 (р{и)_р=0 (р{а) = 0 а = 0. Далее, для любых а_уЬеР имеем: IIа • Ь =<�р (а? Ь) _р=<�р (а)? <�р (Ь) |_р=| <�р (а)_р -| <�р (Ь) _р= ||а ||? ||Ь||. Наконец, II а + Ь ||=| ф + Ь) |,=| ф) + ф) |,< max{| ф) |_р,| ф) _р} = max{|| а ||,|| b ||}. Следовательно, || || - нетривиальная неархимедова норма на поле Р.

Пусть (р{а) = а. По следствию 5.8.13, а является пределом последовательности своих приближенных значений: а = lim а_п но норме л—ко.

| |_;,. Это означает, что для любого рационального числа ?>0 существует номер /?₀ такой, ч то для всех номеров п > п₀ выполняется неравенство.

I^а ~а_{п р} < s. Отсюда следует | <�р{а) -<�р{а_п) _р = (р{аа_п) _р откуда

||а-а_п Таким образом, а = lim а_п по норме || ||, откуда следует,

п—

что элемент а представим в виде р-адического числа а.

Если предположить, что элемент а представим в виде />адического числа /?, то по определениям 5.8.24 и 5.8.23 а= lim Д, по норме || ||. Это.

П-У>О

означает, что для любого рационального числа ? > 0 существует номер п₀ такой, что для всех номеров п>п₀ выполняется неравенство «-Р» Но тогда Ма-Д,)|_;, Н^(о)-«!)(Д,)|_/,=|^(а)-Д,)|_/,<�г, откуда, а = (р{а)= lim (р (Р_п)= lim Д,= /? по норме | | в Q

п-+со /?—>Х) Так как (р являегся отображением на Q_p, то для любого aeQ_p существует элемент аеР такой, что (р{а) = а. По доказанному, элемент а представим в виде /?-адического числа а.

Если предположить, что элемент ЬеР представим в виде р- адического числа or, то из единственности суммы ряда вытекает а = Ь

(<=) Пусть поле Р содержит поле рациональных чисел Q и на Р так определена нетривиальная неархимедова норма || ||, что всякий элемент из Р представим в виде единственного /ьадического числа и всякое /;-адическое число является представлением единственного элемента из Р. По теореме Островского, норма || || на Q эквивалентна </-адической норме | _q при некотором простом q. По условию для любого /мщического числа р = .Ь₂Ь_хЬ_{) существует элемент ЬеР, который представим в виде р-адического числа /?, то еегь.

b = b₀ н-10^ +b₂(10_/;)² +… по норме || ||. Отсюда следует, что последовательность (/?") фундаментальна по норме || ||, а значит и по эквивалентной ей норме | 1^. Итак, последовательность приближенных значений (/?") фундаментальна по норме | _р и по норме | _д. Отсюда вытекает, что p = q.

Для любого аеР положим <�р (а) = а, если элемент а представим в виде />адического числа aeQ_p. Из условий следует, что (р является взаимно однозначным отображением Р на Q_p. Можно считать, что поля Р и Q_p содержат одно и го же поле рациональных чисел Q и (р является на нем тождественным отображением.

Докажем, что <�р сохраняет операции сложения и умножения. Обозначим (р{а) = а, (р{Ь) = /? и пусть а + р = у. Из определения сложения /?-адических чисел вытекает, что Шп (а_п + Д,) = lim у_п по.

П—>ОО и—>со норме | |. Отсюда следует, что это равенство имеет место ив Р по норме || ||. Таким образом, по норме || || имеем: a + b= lim а_п + lim р_п = lim (а_п + Д,) = lim у_п. Но это означает, что.

п-> се л—ко я—ко я—ко элемент а+b представим в виде р-адического числа у. Следовательно, <�р (а + b) = y = a + fi = <�р (а) + (р (Ь).

Для умножения рассуждения аналогичны. Таким образом, (р является изоморфизмом поля Р на поле/т-адических чисел Q_p. ?

Аналогично доказывается.

5.8.26. Теорема. Поле Р изоморфно полю действительных чисел R тогда и только тогда, когда Р содержит поле рациональных чисел Q и на Р можно так определить нетривиальную архимедову норму || ||, что всякий элемент из Р представим в виде некоторой десятичной дроби и всякая десятичная дробь является представлением некоторого элемента из Р.

Теоремы 5.8.26 и 5.8.27 позволяют сформулировать следующие аксиоматические определения системы /;-адических чисел и системы действительных чисел.

• 5.8.27. Определение. Системой р-адических чисел называется нормированное поле с неархимедовой нормой, содержащее поле рациональных чисел, всякий элемент которого однозначно представим в виде некоторого /?-адического числа и всякое /7-адическое число является представлением единственного элемента этого нормированного поля.
• 5.8.28. Определение. Системой действительных чисел называется нормированное поле с архимедовой нормой, содержащее поле рациональных чисел, всякий элемент которого однозначно представим в виде некоторой десятичной дроби и всякая десятичная дробь является представлением единственного элемента данного нормированного поля.

В заключение наметим общую схему построения поля действительных чисел и поля /?-адических чисел из поля рациональных чисел. Рассмотрим поле рациональных чисел с нетривиальной нормой || ||. Класс эквивалентных фундаментальных по норме || || последовательностей рациональных чисел, содержащий последовательность (я"), будем обозначать через (а_п). Определим сложение и умножение классов эквивалентных последовательностей формулами: (а_п) + (Ь_п) = (а_п + Ъ_п), (а") • (6J = MJ. Доказывается, что в результате получаем поле, которое обозначим через По теореме Островского, нетривиальная норма || || эквивалентна либо норме | |, либо норме | _р. Оказывается, что 2|щ в первом случае является полем действительных чисел, а во втором случае — полем р- адических чисел. Это придает вид логической завершенности обобщениям чисел, связанным с понятием нормы.

Упражнения

• 1. Приведите примеры на сложение, вычитание, умножение и деление т- адических чисел при т — 5,7,10.
• 2. Для 10-адических чисел …001, …002, …235, …0505, …1 000 100 101 найдите противоположные. Приведите примеры противоположных чисел в Q₇.
• 7 0 m 1 23 75 7
• 3. Запишите в виде 10-адических чисел рациональные числа —, —, —, —.
• 2 75 23 23
• 4. Запишите в виде отношения целых чисел следующие периодические 10- адические числа: (9)23, (5)23, (273)35, (35)273.
• 5. Найдите 10-адическую норму 10-адических чисел …001; …002; …2 350; …00,01; …002,350; -…002; (…002,35)" ¹.
• 6. Для построенных в п. 5.8.2 10-адических чисел у и S установите соотношение у + S⁴ = 1. Докажите, что любая степень каждого из чисел у и 8⁴ равна самому числу.
• 7. Найдите 5-адическую норму придуманных 5-адических чисел, а также некоторых рациональных чисел.
• 8. В нормированном поле Q$ приведите примеры фундаментальных по норме | |₅ последовательностей и укажите их пределы.
• 9. Докажите, что если простые числа р и q различны, то ноля Q_p и Q_q не изоморфны.