Задачи для самостоятельного решения

• 2.1. Подберите примеры, когда множество некоторых объектов обозначается одним термином, например гербарий — множество собранных и засушенных растений. Запишите на одних карточках эти термины, а на других их расшифровки с использованием понятия «множество». Разработайте игру для младших школьников с использованием этих карточек.
• 2.2. Укажите, сколько элементов содержат следующие множества (для пунктов а) и б) выпишите все собственные подмножества данного множества): а) {1; 2};
• 6)^[1]; г)^[2]; в) {is N11 <�х< 10}; г) {хе Zx² = 5}; д) {хе R 1 — |х-4| = 0}. Перечислите их.
• 2.4. Задайте перечислением следующие множества:
  • а) множество планет Солнечной системы;
  • б) множество предметов, обычно входящих в чайный сервиз;
  • в) множество четырехугольников с равными сторонами;
  • г) Л = {хе N| 1 <^<9};
  • д) В = {хе Z| -1 <х< 5};
  • е) С = {х е R|x² + 1 = 1}.
• 2.5. Приведите примеры подмножеств множества: 1) животных, живущих па Земле; 2) элементов таблицы ЛИ. Менделеева; 3) произведений А. С. Пушкина.
• 2.6. Составьте из букв слова «победа», рассматривая их как множество букв этого слова, все подмножества букв, которые образуют слова, имеющие смысл.
• 2.7. Составьте все возможные подмножества множества М= {2,3, 5, 7}.
• 2.8. Задано множество Л = {0, {2, 4}, 6}. Сколько элементов оно включает? Составьте все собственные подмножества этого множества. Обозначьте три из них К, L и Е гак, чтобы К с Е и К с L.
• 2.9*. Определите, какие из следующих записей являются верными:
  • а) {0,1,3} с {.т | *³ — 4х² + 3х= 0};
  • б) {0,1, 3} е {х | *з — 4х² + Зх = 0};
  • в) {1,3} с {* | х³ — 4х² + За^- = 0};
  • г) {0,1,3} = {х|д:3−4г-² + Зл- = 0}.

Исправьте неверные записи так, чтобы они стали верными.

• 2.10*. Верно ли, что 0 = {0}? Ответ поясните.
• 2.11. Пересечением или объединением множеств Л = {5,7,8} и В = {1,5,6} является множество С = {1,5, 6, 7, 8}?
• 2.12. Заданы множества: а) А = {1, 4, 6, 8, 10} и В = (2, 5, 6, 10}; б) А = {1, 2, 3, 5} и В = {2, 7,9}; в) А = {а, б, г, с} и В = {в, д, к}.

Найдите для каждого случая: Ап В; Аи В ;А В; В А.

2.13*. Множества А, В, С представлены кругами Эйлера. Запишите с помощью операций над множествами выражения для множеств соответственно заштрихованным областям:

2.14. В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии — 18 человек, по тригонометрии — 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии — 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

Ответьте на вопросы:

• 1. Сколько учащихся решили все задачи?
• 2. Сколько учащихся решили только две задачи?
• 3. Сколько учащихся решили только одну задачу?
• 2.15. Первую или вторую контрольные работы, но математике успешно написали 33 студента, первую или третью — 31 студент, вторую или третью — 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

• 2.16. Докажите тождество, предварительно сделав его иллюстрацию с помощью диаграммы Эйлера — Венна: А и В = А и (В А).
• 2.17. Проверьте, выполняется ли переместительный закон умножения для декартова произведения двух множеств, т. е. верно ли, что Л х В = В х Л? В качестве множеств А и В возьмите множества: А = {2}; В = {1,3}.
• 2.18. Используя множества А = {1}, В = {2,3} и С- {4, 5}, проверьте, выполняется ли свойство ассоциативности для декартова произведения, т. е. верно ли, что (ЛхВ)х х С = Лх (В х С).
• 2.19. Докажите, что для любых множеств М, N и К имеют место следующие равенства: a) M (NvK) = (М N) п (М К) 6) М N= (М uN) N;b) М = (М jV) и и (М n N).

Совет. Вспомните, как доказывалось равенство двух множеств (в левой и правой частях равенства) в параграфе 2.3.

2.20*. Пусть множество А состоит из п элементов, множество В состоит из р элементов, причем р > п . Заполните следующую таблицу:

• 2.21. Определите свойства следующих отношений:
  • а) «прямая х пересекает прямую г/» (на множестве прямых);
  • б) «число х больше числа у на 2» (на множестве натуральных чисел);
  • в) «число х делится на число у без остатка» (на множестве натуральных чисел);
  • г) «л: — сестра у» (на множестве людей).
• 2.22. Как вы думаете, может ли некоторое отношение, заданное на определенном множестве, быть одновременно и симметричным, и антисимметричным? Если да, приведите пример.
• 2.23. Проверьте, какие из следующих представлений указанного множества являются его разбиением (в каждом случае свой ответ поясните):
• 1. Множество целых чисел представлено в виде двух подмножеств: четных и нечетных чисел.
• 2. Множество целых чисел представлено в виде двух подмножеств: положительных и отрицательных чисел;
• 3. Множество студентов академической группы представлено в виде подмножеств студентов, изучающих английский, немецкий и французский язык.
• 4. Множество экспонатов зоологического музея представлено в виде отдельных экспозиций: животные, обитающие на суше; животные, обитающие в воде; земноводные животные.
• 2.24. Установите взаимно однозначное соответствие между элементами множества всех прямых на плоскости и множества всех точек координатной оси ОХ. Объясните, как это можно сделать. Можно ли установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств другим способом?
• 2.25. Докажите, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности:
  • а) отношение «иметь одинаковый год рождения» на множестве всех людей;
  • б) отношение «иметь одинаковое число сторон» на множестве всех многоугольников плоскости;
  • в) * на множестве Z: (а, b) е р, если | а = |b |.
• 2.26. Какую мощность имеет множество всех точек координатной прямой? Свой ответ поясните.

• [1] 1;2};1;2};в){{1
• [2] 1}; 1}; д) {{1}; 2; 1}.
• 2.3. Укажите, сколько элементов содержит каждое из множеств: а) {-1; 0; 1};
• б) {1, {3,5}, 7, {9, 11