Метод установления с использованием схемы расщепления

Запишем для уравнения (11.2) схему расщепления:

Каждая из подсхем схемы расщепления (11.7), являясь аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа, обладает абсолютной устойчивостью. Поэтому значение шага итерации в данном случае может быть выбрано произвольно в отличие от метода простой итерации, для которого значение шага итерации задаётся с помощью соотношения (11.5). Выбор более грубого шага итерации (по сравнению с методом простой итерации) позволяет существенно ускорить сходимость итерационного процесса и уменьшить количество итераций:

Рис. 11.1. Блок-схема решения дифференциального уравнения эллиптического типа методом простой итерации.

Каждая из подсхем схемы расщепления (11.7) решается с помощью метода прогонки. Коэффициенты, соответствующие уравнению.

• (4.10), имеют вид:
• — для первой подсхемы

— для второй подсхемы.

Легко видеть, что для обеих подсхем схемы расщепления (11.7) достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется. Алгоритм решения схемы (11.7), а также методики определения прогоночных коэффициентов и решения на правой границе аналогичны описанным ранее в разделах 7.6.4 и 4.2.2, соответственно.

Также как и в случае метода простой итерации, в качестве нулевой итерации (начального условия) обычно задают свободный член:

Расчёт итераций следует продолжать до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся, т. е. пока не будет выполняться условие (11.3), в разностном представлении соответствующее неравенству:

В качестве итерационного выражения служит прогоночное соотношение (4.11), имеющее вид:

• — для первой подсхемы = (X у и" *+ Р у;
• — для второй подсхемы м" *¹ = а _к -f S_k.