Удар и падение тела на конструкцию

В строительной практике часто встречаются случаи удара или падения тела на конструкцию, особенно в период возведения зданий и сооружений. Нередко такие явления приводят к аварийным ситуациям. Точное решение этой задачи — относительно сложное. Усложнение возникает вследствие того, что упругие тела при соударении отскакивают друг от друга, вызывая разрыв в уравнениях движения. Кроме того, при соударении часть энергии поглощается за счет местных деформаций. Поэтому дальше рассмотрим приближенное решение, приняв следующие допущения, которые идут в запас прочности (так как они как бы увеличивают силу удара):

• 1) примем, что удар неупругий, т. е. будем полагать, что падающее тело не отскакивает, а остается на конструкции;
• 2) будем считать тела жесткими, при соударении которых местные деформации не возникают.

Описываемый процесс приближенно можно представить как одновременное внезапное приложение нагрузки и задание начальной скорости массе, находящейся в покое (рис. 1.19). Решения для названных случаев получены выше — см. формулы (1.11) и (1.43). Суммируем их с учетом массы падающего тела:

Рис. 1.19. Падение тела на конструкцию Так как падающее тело остается на конструкции, то.

где М — масса падающего тела. Начальная скорость определяется из закона сохранения количества движения. До контакта с массой ш, движется только одна масса М. Ее количество движения равно Mv, где v — скорость падающей массы в момент контакта с массой m_v После контакта массы перемещаются вместе уже со скоростью v₀. Их количество движения равно (/гг, + M)v₀. Приравнивая оба значения, получим из этого равенства выражение для начальной скорости масс:

Скорость свободного падения тела, как известно из курса физики, v = у]2ghy где g = 9,81 м/с² — ускорение свободного падения.

Как и выше, решение (1.48) можно представить через динамический коэффициент р. Вынесем значение г/_ст за скобку:

Выражение в скобках представляет собой динамический коэффициент. Для практических целей уместно найти его максимальное значение, для чего продифференцируем р по времени и приравняем производную к нулю:

—(1.49).

При этом значении тангенса динамический коэффициент будет максимальным.

Заменим в выражении для р все значения тангенсами, используя формулы тригонометрии:

Учитывая равенство (1.49), заменим тангенс через исходные данные:

Выразим эти значения через массы и высоту падения. Окончательно формула для динамического коэффициента примет вид.

Выражение (1.50) показывает, что величина динамического коэффициента зависит от высоты падения груза. Если h = 0, то будет иметь место внезапно приложенная нагрузка, при которой р_тах = 2.

Если пренебречь массой балки, то.

Пример 1.9. На сосредоточенную массу т_л = 600 кг, расположенную на балке (рис. 1.20, а), падает груз весом 5000 Н с высоты 0,8 м. Балка постоянной жесткости EI = 7 266 000 Н м². Определим динамический коэффициент и макси;

т_[ 9,81.

мальный изгибающий момент. Соотношение масс: — = 600- —— = 1,1772.

М 5000.

Рис. 1.20. Падение груза на балку.

Решение

Прогиб от единичной силы определим, используя эпюру М, (рис. 1.20, б):

4−5000.

Статический прогиб от груза: и_ГТ = «_____ = 2,75 * 10 ³ м.

р и.^ст 7 266 000.

Подставим полученные значения в выражение максимального динамического коэффициента (1.50):

Тогда M_max = [x_mxxM_lF = 17,38 • 1 • 5000 = 86 889 Н м = 86,9 кН • м.

Приведенные выше выводы справедливы только для тех задач, в которых динамическая нагрузка приложена к массе в направлении ее перемещения. Для других вариантов нагружения подход к решению задач изложен в конце параграфа 2.6.

Упражнение 1.4. На середину однопролетной шарнирно опертой балки, где расположена масса т_л = 800 кг, падает груз весом Q = 2000 Н с высоты h = = 0,3 м. Пролет балки 8 м, жесткость EI = 64 • 10⁵ Н • м². Определите динамический коэффициент и максимальный изгибающий момент.