Начальные и граничные условия для уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности — это дифференциальное уравнение первого порядка по времени и второго порядка по пространственным координатам х, у, z. Для того чтобы его решить, нужны начальное и граничные условия.

Начальное условие — это распределение температуры внутри тела в начальный момент времени; оно должно быть известно:

где fa (х, у, z) — известная функция.

Граничные условия определяют закон взаимодействия между поверхностью тела и окружающей средой. Эти условия в зависимости от физической постановки задачи могут быть заданы различными способами.

Граничное условие 1-го рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени:

где/| (/) — известная функция (в частном случае — известная константа).

Граничное условие 2-го рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени:

где /)(/) — известная функция (в частном случае — известная константа).

Граничное условие 3-го рода состоит в задании условия теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей средой (жидкостью или газом, например, атмосферным воздухом):

где Тос — температура окружающей среды (известная постоянная или переменная величина), а— коэффициент теплообмена (известная величина, определяемая экспериментально); Т,_Юв и (/""в — температура поверхности тела и плотность теплового потока, который течет из окружающей среды внутрь тела путем теплопроводности, или наоборот, течет из тела в окружающую среду; эти величины заранее неизвестны и должны быть найдены в результате решения задачи.

Граничнос условие 4-го рода состоит в задании равенства температур и равенства абсолютных величин тепловых потоков на границе соприкасающихся твердых тел:

т. е. считается, что температура при переходе через поверхность раздела меняется непрерывно (не испытывает скачка), а плотность теплового потока, выходящего из одного тела, равна (по модулю) плотности потока, входящего во второе тело (идеальный тепловой контакт).

Таблица 3.1

Теплофизические параметры некоторых веществ.

Окончание табл. 3.1

Примечание: 1) теплоемкость и температуропроводность газов приведены при постоянном давлении; 2) параметры таких веществ как глина, песок, снег, древесина, грунты, машинное масло, бензин, керосин, нефть и др. могут сильно зависеть от вида, сорта и состояния этих веществ, поэтому их значения, приведенные в таблице, надо рассматривать как ориентировочные.