Механическая система со связями. 
Обобщенные координаты

Наиболее интересными как с практической, так и с теоретической точек зрения являются механические системы, движения которых ограничены так называемыми связями. Чтобы было понятно о чем идет речь, рассмотрим несколько примеров систем со связями.

Пример 1 Материальная точка движется по поверхности, уравнение которой в общем случае может быть записано в виде.

Присутствие времени t в левой части этого уравнения означает, что поверхность изменяется со временем, т. е. движется или деформируется. Разрешив это уравнение относительно г, получим зависимость.

Существование такой зависимости приводит к тому, что положение точки в пространстве можно однозначно определить в любой момент времени 1 заданием только двух ее координат: i и у, а ее движение можно описать посредством функций х = x (t) и у = у (/). Уравнения типа (14.19) и (14.20) называются уравнениями связи. В частном случае движение частицы может быть ограничено плоскостью z — 0.

Пример 2. Частица движется в плоскости х-у но окружности.

Для определения положения частицы в таком случае удобно использовать угол у? (рис. 2.5):

а ее движение — описывать зависимостью =.

Пример 3. Две частицы соединены жестким стержнем длины /. В этом случае уравнение связи имеет вид.

где Г| и ?2 «радиус-векторы частиц, или.

Рис. Ц-4- Две частицы, соединенные жестким стержнем,.

— пример механической системы со связями

Для того чтобы однозначно определить положение частиц в пространстве, теперь необходимо задать пять величин. Для этого, например, можно использовать координаты xj, у, z одной из частиц и углы у и 9 (рис. 14.4), определяющие ориентацию стержня в пространстве. Тогда координаты второй частицы могут быть установлены по формулам.

Пример 4. Два тела связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. 14.5). Если определить координаты ij и хг этих тел так, как показано на рис. 14.5, то уравнение связи можно записать в виде.

где R - радиус блока, / - длина нити. С учетом этого уравнения независимой можно считать только одну из функций xi (f) или хг (0;

Рис. Ц.5. Два тела, нить и блок — система со связями.

Пример 5. Абсолютно твердое тело представляет собой еще один пример механической системы со связями. По определению эти связи таковы, что расстояние между любыми двумя точками твердого тела со временем не изменяется. Положение твердого тела однозначно определяется шестью величинами: декартовыми координатами центра масс тела х_с, Ус" ^zc и эйлеровыми углами у?, 0, V>;

Рассмотрим теперь произвольную механическую систему. Если для однозначного определения положения системы в пространстве необходимо задать значения а независимых величин 71, 72, •••" 7s> то говорят, что система имеет s степеней свободы. Величины q_Q (где о = 1,2,s) называются обобщенными координатами системы, а целое число 5 — числом ее степеней свободы.

Согласно приведенному определению задание значений обобщенных координат позволяет однозначно установить положение каждой материальной точки, входящей в состав рассматриваемой системы; т. е. радиусвектор г* каждой частицы системы следует считать функцией обобщенных координат и может быть времени t:

Дифференциал этой функции.

называется виртуальным перемещением. Если в уравнение связи время t явно не входит, то связь называется стационарной. Когда все связи в системе стационарные, функции (14.21) не зависят явно от времени. В таком случае виртуальные перемещения совпадают с возможными.

Результирующая всех сил, действующих на t-ю частицу системы, может быть представлена в виде суммы.

где Я, — - равнодействующая сил, обусловленных наличием связей. Сила Я, называется реакцией связей. Все другие силы, действующие на t'-ю частицу, называются активными. Их равнодействующая обозначается.

Fi ?

Связи называются идеальными, если сумма работ реакций этих связей при любых виртуальных перемещениях равна нулю, т. е. если.

называется возможным перемещением t-й частицы. Тогда как выражение.

Рассмотрим тело, которое скользит без трения по поверхности подвижного клина (рис. 14.6). При этом возможное перемещение dr тела не совпадает с его виртуальным перемещением 6 г, которое характеризует перемещение тела по поверхности неподвижного клина. Поскольку в данном случае реакция связи есть сила нормального давления, которая перпендикулярна поверхности клина, будем иметь.

т.е. работа реакции связи при виртуальном перемещении тела равна нулю. Таким образом, подвижная или неподвижная гладкая поверхность осуществляет идеальную связь.

Рис. Ц.6. Работа силы нормального давления при виртуальном перемещении равна нулю.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого работа сил трении и нормального давления равна нулю. Поэтому такая связь тоже будет идеальной. Нетрудно показать, что связи, осуществляемые посредством шарниров и нерастяжимых нитей, также являются идеальными.