Асимптотические оценки. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Асимптотическая несмещенность оценки. Оценка 0_П параметра 0 называется асимптотически несмещенной, если оценка 0" смещена, но Нш М0″ = 0.

П-> со Пример 11.5. Показать, что оценка ст² дисперсии о² является асимптотически несмещенной.

Решение. Ранее было найдено, что Мб² =——сг². Найдем предел матема;

п

тического ожидания при lim Мб², = lim = a² lim —— = о².

П—П—>оо П П—>оо И Асимптотическая эффективность оценки. Преобразуем неравенство Pao D0″ >—-— к виду D0"n/(0) >1. Найдем предел /(0) lim nDQ_n.

n/(0) П—>оо.

Оценка называется асимптотически эффективной, если /(0) lim nDQ_n =1.

П—>00.

Пример 11.6. Показать, что несмещенная оценка S² выборочной диспер;

2а⁴ 1.

сии а² является асимптотически эффективной, если DS² -—-, 7(а²) = —.

что указывает на асимптотическую эффективность оценки.

Асимптотическая нормальность оценки. Расчет выборочной характеристики случайной величины по выборке разного объема дает разные результаты, т. е. выборочная характеристика не совпадает с теоретической, полученной по всему объему генеральной совокупности. Выборочная характеристика 0 сама есть случайная величина. И как случайная величина, она имеет свой закон распределения. Поскольку вычисление выборочной характеристики приводит к необходимости производить арифметические операции над выборкой, то закон распределения исходной случайной величины с ростом п претерпевает изменения. Мы видели, что, например, сложение двух случайных величин, подчиненных одному закону распределения, приводит к появлению другого закона.

Некоторый порядок в этом хаосе законов наводит центральная предельная теорема. Она утверждает, что по мере роста числа наблюдений закон распределения выборочной характеристики имеет тенденцию приближения к нормальному закону распределения, т. е. оценка становится асимптотически нормальной.

Асимптотически нормальная оценка 0″ — статистическая оценка параметра 0, распределение которой при должной нормировке стремится к стандартному нормальному распределению с ростом объема выборки.

Пусть х_ь х₂, …, х_п — выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения р^(х, 0), зависящего от параметра 0. Статистическая точечная оценка 0_П с конечными математическим ожиданием М0″ и дисперсией DQ, называется асимптотически нормальной,

0″ -М0″.

если последовательность случайных величин г|" = — сходится.

м,

по распределению к случайной величине Г), имеющей стандартное нор;

d

мальное распределение, т. е. г|" —~ N (0,1).

Часто факт асимптотически нормальной оценки указывают записью.

Если случайная величина 0″ удовлетворяет условиям ЦПТ, то явля;

ется асимптотически нормальной. Имеются четыре признака, совместное наличие которых позволяет предполагать наличие асимптотически нормальной оценки:

• 1) оценка 0″ получена на основе выборки из п независимых наблюдений;
• 2) существует конечное математическое ожидание М0″;
• 3) существует конечная дисперсия D0_n;
• 4) разность между оценкой 0″ и ее математическим ожиданием М0″ должна принимать как положительные, так и отрицательные значения с вероятностью 0,5.

Оценка становится асимптотически нормальной, если п. 1) берется в следующей редакции:

1') оценка 0″ получена как сумма п наблюдений случайных независимых величин.

В этом случае п. 4) снимается.

Математическое ожидание должно быть несмещенным или асимптотически несмещенным. Неустранимое смещение вызывает перекос в разности 0″ -М0_П в сторону положительных или отрицательных значений, исчезает симметричность распределения относительно нуля. Оценка 0″ должна быть состоятельной по той же причине. Оценка, имея конечную дисперсию, может быть неэффективной.

Многие выборочные характеристики асимптотически нормальны. Например, по следствию 3 из ЦПТ среднее выборочное значение х при п —> оо ведет себя как нормально распределенная случайная величина.

— а²

с математическим ожиданием а и дисперсией —. Это означает, что слу;

п

чайная величина х асимптотически нормальна: