Теоретические основы решения задач составлением уравнений в 5-6 классах

История сюжетных задач и методов их решения

Еще на заре цивилизации, в школе Пифагора (571 — 479 до н.э.), возник дерзкий замысел сделать математические методы универсальным средством для решения всех естественно-научных задач. Но тогда этот замысел был обречен на провал в силу недостаточного уровня развития как естествознания, так и самих математических методов, так как алгебра и анализ находились лишь в зачаточном состоянии.

В Средние века этот замысел с новой силой был возрожден Р. Бэконом (1214−1294) «предвестником опытной науки новых времен». В центре опытной науки, по Бэкону, находятся физико-математические знания. Вообще, все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, то есть в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является «азбукой всей натуральной философии, то есть всего естествознания» .

Взгляды Р. Бэкона оказали огромное влияние на мыслителей последующего столетия, формируясь как механико-математическая концепция, в трудах Н. Кузанского (1401−1464), Леонардо да Винчи (1452 — 1519), Гоббса (1588 — 1679), Декарта (1596 — 1650), Спинозы (1633 — 1677), Локка (1632 — 1704), Ньютона (1648 — 1723), Лейбница (1646 — 1716), Эйлера (1707 — 1783), Канта (1724 -1804).

Эту концепцию хорошо иллюстрируют слова Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственную науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику» .

Лишь Гегель (1770−1831) сумел преодолеть крайности этой концепции, подчеркивая ограниченность сферы применения современных ему математических методов. Но уже к тому времени сфера применения этих методов была довольно обширной и благодаря развитию алгебры и анализа дерзкий замысел древних был частично осуществлен, причем Декарт и Ньютон придали идеям древних более четкую форму.

Исходя из положения Р. Бэкона о том, что математика — азбука естествознания, и близкая мысль Галилея о том, что природа говорит математическим языком, в своих «Правилах для руководства ума» Декарт стремился дать универсальных метод решения задач. Он считал, что ко всем задачам может быть применена следующая схема:

Первое — задачи любого вида сводятся к математическим задачам.

Второе — математические задачи любого вида сводятся к алгебраическим.

Третье — любая алгебраическая задача сводится к решению одного единственного уравнения.

С течением времени сам Декарт должен был признать, что имеются случаи, когда его схема является непригодной. Но, тем не менее, в намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно… Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставаясь нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысячи мелких проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать. Хотя схема Декарта и неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их, которое включает неисчерпаемое разнообразие случаев.

И когда ученик средней школы собирается решать «словесную задачу» при помощи «системы уравнений», он следует схеме Декарта и готов к серьезному применению лежащей в ее основе универсальной идеи.

Следует отметить, что идея решения задач с помощью уравнений связана не только с именем Декарта. По этому поводу уместно привести слова В. Ф. Кагана: «Вообще, всякая тенденция связать глубокую идею, широкий замысел с одним определенным лицом как с родоначальником этой идеи обычно, по меньшей мере, рискованна. Идеи широкого замысла не родятся из головы Юпитера — легендарного бога — или даже знаменитого философа» .

Рассмотрим суть аналитического метода решения задач по Декарту.

Приступая к решению задачи, тщательно проанализируйте ее. Что требуется найти и доказать? Что дано? Какая зависимость между данным и искомым? Пусть перечень данных и зависимостей будет полным и детальным, пусть в нем ничего не будет упущено из виду. Принимай за истинно данное лишь интуитивно ясное и логически доказанное, если же условие довольно сложно, дели его на части до тех пор, пока оно не станет ясным для тебя. Чтобы затем воссоздать в своем представлении условие задачи в целом, соблюдай порядок в рассуждении, иди от простого к сложному, от легкого к трудному, от интуиции к логике. А если задача не поддается анализу, не приступай к ее решению, не действуй вслепую. Но мобилизуй все свои знания, весь свой опыт для проникновения в суть задачи, сосредоточь все свое внимание на фактах, о которых в ней говориться до тех пор, пока не достигнешь ясного их понимания и при этом исследуй все по порядку, не опуская «мелочей» .

Когда предварительный анализ закончен, «когда мы хорошо понимаем вопрос, надо освободить его от всех излишних представлений, свести его к кратчайшим элементам», сведя сложную задачу к ряду простых. Для создан7ия таких моделей надо перевести зависимость между реальными величинами на язык четырех арифметических действий, для чего нужно хорошо знать их предметную основу — операции над отрезками. Проделывая всю эту работу, надо «испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью» .

Символическая буквенная модель задачи, таким образом, будет сведена к системе уравнения, смысл каждого из которых сводится к выражению одного и того же значения некоторой величины двумя разными способами. Чтобы задача имела определенное решение, нужно иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных.

Исследуй решение задачи, если хочешь извлечь из нее пользу. Пройдя путь, брось «взгляд назад», интуитивный и дедуктивный.

Таким образом, мы видим, что уже в трудах Декарта имеется целая система методических указаний по решению аналитических задач. К сожалению, эти указания, за небольшим исключением, долгое время оставались неизвестными широкому кругу учителей, так как о них ничего не говорилось в методических руководствах. Только после выхода книг Д. Пойя эти указания в его пересказе стали известны учителям и методистам.

Положение Декарта о том, что для уяснения данных и их зависимостей надо дробить задачу на более мелкие и простые части, Б. Паскаль (1623−1662) дополнил указанием: «Заменяй термины их определениями» .

И. Ньютон в своей «Всеобщей Арифметике» посвящает методике решения аналитических задач две главы: «О проведении вопроса к уравнению» и «О приложении уравнений к геометрическим вопросам». В первой из них он выдвигает следующие методические идеи:

К решению задач на составление уравнений можно приступать, лишь имея солидный опыт по тождественным преобразованиям алгебраических выражений и решению уравнений.

Приступая к решению задачи, надо предварительно выяснить: аналитична ли она, то есть, возможно ли все данные и зависимости задачи перевести на алгебраический язык.

Задачи делятся на две большие группы: а) допускающие синхронный перевод с естественного языка на алгебраический; б) не допускающих синхронного перевода. В последнем случае бывает необходимо перефразировать текст задачи, придерживаясь больше смысла слов, чем их буквы.

Изучение задач — искусство; главный метод обучения здесь — показ; «искусство гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний». И. Ньютон показывает, как решать задачи, почти на восьмидесяти примерах.

Решение задач по общей части «тем быстрее и искуснее, чем меньше вы вводите неизвестных величин» .

Для решения задач «трудно дать общие предписания, каждый должен… следовать указаниям собственного разума, я пытаюсь все же указать путь начинающим. Это последовать правилам Декарта» .

Мы видим, что Ньютон дополняет методические указания Декарта пятью новыми положениями. К сожалению, широкому кругу учителей они до сих пор мало известны.

В течение двух столетий методика решения аналитических задач почти исчерпывалась указаниями, которые можно найти у Декарта и Ньютона, причем разные авторы ограничивались лишь отдельными указаниями великих мыслителей, игнорируя другие указания или выступая против них.

Методические особенности решения задач составлением уравнений можно предложить в следующей схеме:

Обозначь искомое буквой.

Допустив, что эта буква — ответ на вопрос задачи, производи над ней и над данными те же действия, которые мы производили бы, проверяя уже решенную задачу.

Это первое общее правило — «Правило проверки Лапруа» .

При этом мы всегда должны иметь в виду, что цель наших действий — выразить одно и то же значение некоторой величины двумя различными способами.

Это второе общее правило — «Правило уравнения» .

Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач — методы показа.

Нетрудно видеть, что первое общее правило — следствия правила Декарта. Второе общее правило — часть правила Декарта, а метод показа — это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий.

Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта — Ньютона.

Исходными характеристиками этого метода являются:

перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие — нет;

свертывание аналитической модели задачи к оптимальному виду — уравнению — и его решение;

обратный перевод с аналитического языка на естественный.

Наряду с общими правилами, вытекающих из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, в условиях Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формулирования умения решать аналитические задачи.

Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта-Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеуказанных ошибочных указаний. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика.

После 50-х гг. методисты начинают обращать больше внимания на исходные указания метода Декарта-Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры» , — пишет М. Змиева. На этом вопросе акцентирует свое внимание С. С. Бронштейн, Д. Майергойз, И. К. Браун и другие. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д. Пойя. Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Панна и даже народные пословицы.

Методические указания по решению задач Д. Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим.

После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной.

Многие учителя и методисты пытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А. Н. Колмогоров: «…Сейчас можно наблюдать, что использование „икса“ применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции записывать с „иксом“. На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея» .

Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того, чтобы обоснованно решить эти весьма непростые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических задач.