Психологические предпосылки использования нестандартных логических задач на уроке математики в начальной школе

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых «механизмов» детского мышления с общематематическими и общелогическими понятиями.

На первый взгляд понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 — 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребенка (хотя, кoнечно, все более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.

В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер ([10]), Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 — 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В — А' = А). Сериация — это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от ее исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме — к включению классов, обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель — выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т. е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого» ([10], стр. 15).

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости — инверсии (отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

операция может развиваться в двух направлениях;

при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка остается неизменной.

Структуре порядка соответствует такая форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребенка структуры порядка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 — 8 лет) интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не «знакомство» с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как «координации действий») является началом математического мышления, «выделения» математических структур.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «отношение — структура» но последние сами органически входят в мышление ребенка.

Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики логических задач должна стать нормальным явлением.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного «порога», с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 — 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 — 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В «естественных» условиях, при обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и складываются к 13 — 15 годам. Но нельзя ли «ускорить» их формирование путем более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 — 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 — 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и общелогических структур, хотя «механизм» этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме «от простых структур — к их сложным сочетаниям». И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.