Нормальная система дифференциальных уравнений

Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной.

(4).

Уравнение (4) называется каноническим дифференциальным уравнением. Введем новые переменные:

Тогда получим:

(5).

Это система дифференциальных уравнений в форме Коши. Ее можно записать в векторной форме:

Тогда систему дифференциальных уравнений (5) можно записать следующим образом:

(6).

Если F (x) не зависит от времени, то уравнение (6) можно записать в виде :

(7).

И такие уравнения называются автономными или стационарными.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называются выражения вида:

(1).

Где x (t) — искомая функция времени t, определенная на интервале [0,]; - постоянные коэффициенты; f (t) — правая часть дифференциального уравнения, известная функция времени t, которая определена на интервале времени [0, ]; - конечное время интегрирования дифференциального уравнение (1), на котором определено решение исходного дифференциального уравнения.

Предположим, что :

(2).

Введем обозначения:

(3).

Тогда решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить следующим образом:

(4).

Где — общее решение однородного дифференциального уравнения (2), которое зависит от постоянных интегрирования .

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1).

Решением однородного дифференциального уравнения будет:

(5).

А решением неоднородного уравнения будет:

(6).

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка:

(7).

И пусть теперь и — корни уравнения (7). Тогда решение дифференциального уравнения в случае, если корни действительны или различны, будет иметь вид:

(8).

Если корни действительны и кратны, то решение будет иметь вид:

(9).

Если корни комплексно-сопряженные, то.

(10).

— действительная часть корня, — мнимая часть корня.

Если для дифференциального уравнения вида:

(11).

Заданы начальные условия.

И будем считать, что известно общее решение этого уравнения:

То для того, чтоб определить и, нужно решить следующую систему алгебраических уравнений.

Если найденные значения и поставить в общее решение, то это будет частное решение.

Алгоритм решения обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений.

• • Шаг 1. Составляется характеристическое уравнение, которое соответствует заданному дифференциальному уравнению.
• • Шаг 2. Находятся корни характеристического уравнения.
• • Шаг 3. Выписывается фундаментальная система решений.
• • Шаг 4. Записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
• • Шаг 5. Используя заданные начальные условия, находятся постоянные интегрирования.
• • Шаг 6. Записываем частное решение исходного дифференциального однородного уравнения.

Алгоритм решения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Шаг 1. Составляется характеристическое уравнение, которое соответствует заданному дифференциальному уравнению.

Шаг 2. Находятся корни характеристического уравнения.

Шаг 3. Выписывается фундаментальная система решений, для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Шаг 4. Записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Шаг 5. Находится частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Шаг 6. Выписывается общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Шаг 7. Находим постоянные интегрирования.

Шаг 8. Выписывается частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.