Динамика микромеханического гироскопа с одинаковыми физическими параметрами, установленного на основании, вращающемся с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси

Данный параграф посвящён анализу упрощённой модели микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой, рассмотренного в § 1. Упрощённость заключается в следующем:

1) одинаковость физических параметров гироскопа:

a) равенство собственных частот колебаний инерционной массы и рамки:

(3.1).

b) равенство коэффициентов демпфирования:

• (3.2)
• 2) вращение ММГ с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси:

• (3.3)
• (3.4)
• 3) внешние периодические силы воздействуют только на инерционную массу и представляются в виде:

(3.5).

В силу упрощений (3.1)-(3.5) динамические уравнения (1.22) примут вид:

Уравнения (3.6) имеют несимметричную структуру. Чтобы придать им более симметричный вид, необходимо ввести новые параметры.

Ввиду (3.7) уравнения (3.6) примут вид:

Умножим первое уравнение системы (3.8) на, а второе уравнение — на .

В получившейся системе (3.9) осуществим замену переменных, введём новые обозначения и преобразуем коэффициент .

• (3.10)
• (3.11)

(3.12).

Уравнения (3.9) в результате (3.10)-(3.12) примут вид:

Поделим (3.13) на .

Уравнения (3.14) переведём на быстрое время и выполним переобозначение коэффициентов.

(3.15).

В результате перехода на быстрое время (3.15) и введения (3.16) система (3.14) примет вид:

В силу того, что в (3.17) коэффициент демпфирования, гироскопическое слагаемое и амплитуда вынужденных колебаний являются малыми величинами, введём малый параметр .

Условно перенеся малость параметров, и в параметр, система (3.17) примет следующий вид:

Применим к (3.18) метод осреднения Боголюбова-Митропольского, рассмотренного в § 2. Для этого осуществим переход от (2.1) к (3.18).

Неконсервативные части уравнений (3.18) сами по себе являются малыми величинами, поэтому содержащимися в них малыми слагаемыми можно пренебречь.

Осуществив переход от (2.1) к (3.18) с помощью (3.19) и подставив (3.21) в (2.6), получаем уравнения Боголюбова-Митропольского для рассматриваемой упрощённой модели ММГ.

В (3.22) необходимо выделить слагаемые при и, где — номер уравнения. Для этого воспользуемся тригонометрическими преобразованиями.

С помощью (3.23) уравнения (3.22) примут желаемый вид.

Приравняем в (3.24) слагаемые при соответствующих и и получим уравнения для параметров и, входящих в (2.3).

Решение системы уравнений (3.25) будем искать в виде:

Подставим (3.26) в (3.25).

Приравняем в (3.27) слагаемые при одинаковых тригонометрических функциях.

Из (3.28) находим коэффициенты для (3.26).

Подставим (3.29) в (3.26).

С учётом (3.30) дифференциальные уравнения (2.3) примут вид:

Частотная расстройка также является малой величиной и может быть выражена через .

(3.32).

После (3.32) дифференциальные уравнения (3.31) примут удобный для анализа вид:

Каждое решение уравнений (3.33) представляет собой сумму общего однородного и частного однородного решений. Общее однородное решение описывает переходные процессы, происходящие в ММГ первое время. Частное неоднородное решение характеризует стационарный режим, на который со временем выходит ММГ, является функцией параметров ММГ и не зависит от времени.

Интерес представляет именно стационарный режим, поскольку в этом режиме и работает ММГ. На стационарном режиме :

Разрешим (3.34) относительно тригонометрических функций.

Из (3.35) с помощью основной тригонометрической формулы можно получить уравнения для устоявшихся амплитуд колебаний инерционной массы и рамки.

Разрешим (3.36) относительно и .

Построим графики зависимостей и для разных значений гироскопического слагаемого g, включающего в себя скорость вращения основания ММГ. Зададим остальные параметры, входящие в, произвольным образом в соответствии с их порядком.

Рис. 2. График зависимостей при

Рис. 3. График зависимостей при

Проанализируем получившиеся графики. При отсутствии вращения ММГ (рис. 1) в системе присутствуют только колебания инерционной массы, возбуждаемые внешней периодический силой. С появлением угловой скорости основания (рис. 2) возникают вторичные колебания — колебания рамки, а амплитуда первичных колебаний угасает в соответствии с законом сохранения амплитуд. Возрастающая скорость вращения основания в какой-то момент времени () сравняет амплитуды первичных и вторичных колебаний. Пройдя критическую отметку, амплитуда вторичных колебаний начнёт убывать вместе с амплитудой первичных колебаний, а их максимумы начнут отходить от оси ординат (рис. 3). На подобных скоростях вращения ММГ должна быть введена частотная расстройка, чтобы обеспечить оптимальную точность показаний. На больших скоростях вращения в отсутствии частотной расстройки амплитуда как первичных, так и вторичных колебаний будут стремиться к нулю (гр. 4). Чем точнее будет определена частотная расстройка, соответствующая максимальным значениям амплитуд колебаний, тем сильнее будет сигнал ММГ и тем ниже будет измерительная погрешность.

Формулы (3.37) специальным образом не были упрощены, чтобы выделить одно из слагаемых под корнем знаменателя, а именно:

Приравнивая (3.39) к нулю, можно без труда найти оптимальную частотную расстройку ММГ. Она будет равна: