Предисловие. 
Сеточно-характеристические численные методы

При исследовании современных задач механики сплошных сред приходится иметь дело со все более усложняющимися математическими моделями. Как правило, это многомерные нелинейные уравнения в частных производных, с заранее неизвестными и также подлежащими определению границами области интегрирования, с разрывами в искомых решениях и зонами больших градиентов внутри этих областей и т. п. В настоящее время сложность этих задач такова, что их исследование невозможно без использования мощного и эффективного аппарата численных методов и ЭВМ. Глубокое проникновение этих методов в традиционные и новые области объясняется прежде всего их универсальностью. Имея во многом сходство с физическим экспериментом, в том смысле что в «вычислительный эксперимент» может быть заложена достаточно близкая к реальности математическая модель без значительных упрощающих предположений, с помощью численных методов могут быть получены количественные характеристики изучаемых процессов в широком диапазоне определяющих задачу параметров, а часто — и в области режимов, недоступных для натурных экспериментов. Немаловажно и то обстоятельство, что получаемая информация полнее и существенно дешевле соответствующих экспериментальных исследований. Результаты численных исследований, так же как и физический эксперимент, прежде всего являются источником фактического материала, на основании которого может быть проведен детальный теоретический анализ, построены более простые модели, инженерные методики и т. п.

Сказанное здесь, естественно, не умаляет роли других подходов к решению современных задач механики и физики и тем более принципиальную роль эксперимента, который всегда остается решающей основой исследования, подтверждающего (или отвергающего) схему и решение в том или ином теоретическом подходе. Не теряют своего значения и классические аналитические методы решения линейных уравнений математической физики, асимптотические методы исследования более сложных математических моделей. Удачное сочетание различных подходов позволяет эффективно решать возникающие на практике те или иные задачи. Однако появление ЭВМ внесло в процесс познания новый элемент: принципиальную возможность усложнять модель, делая ее все более адекватной действительности и в то же время доступной для исследования. К современному пониманию этой проблематики, т. е. компьютеризации научного поиска, привел процесс интеграции знаний и идеологии математиков, специалистов по вычислительной технике и программированию, а также представителей конкретных научных дисциплин, использующих в своей области численные методы и ЭВМ.

Последние десятилетия шел активный поиск, теоретическое осмысление, внедрение в практику численных методов во всех развитых странах мира. Широко известны советские школы по вычислительной математике Института прикладной математики им. М. В. Келдыша, Новосибирска, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и других организаций.

В области вычислительной аэродинамики в 1960;х годах сложилась активная группа из сотрудников Вычислительного центра АН СССР, ряда учебных институтов, главным образом Московского физико-технического института и научно-исследовательских отраслевых институтов, объединенных более идейно, чем организационно. Выработка общих принципов, поиски и результаты этой группы опубликованы, например, в монографиях [1, 2], а наиболее важные итоги подведены в книге [3]. Эти принципы, на наш взгляд, мЬжно было бф сформулировать следующим образом:

всесторонний анализ физико-математических моделей, используемых для расчета на ЭВМ реальных явлений. Локальное упрощение моделей на основе физического или математического расщепления;

тесная связь разрабатываемых численных методов с возможностями ЭВМ (по быстродействию и памяти) и физическими или математическими особенностями задачи;

тщательная проверка метода на ''жизнеспособность": анализ устойчивости, сходимости на модельных примерах, сравнение с другими методами, простота и надежность алгоритмов и тл.;

внедрение экономных и эффективных схем, прошедших лабораторные испытания, в практику КБ и НИИ для конкретных расчетов.

В качестве иллюстрации к первому принципу можно привести исследования некоторых переходных процессов в гидрогазодинамике при больших числах Рейнольдса на основе математических моделей Эйлера, Навье— Стокса, Больцмана [3].

Характерным примером ко второму пункту является широкое использование в 1960;х годах метода интегральных соотношений [4], используя который, впервые удалось рассчитать сверхзвуковое обтекание тел с отошедшей ударной волной, хотя предварительно и пришлось провести большую работу по выводу и анализу систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками [2].

В предлагаемой вниманию читателями монографии, в которой изложены основы оригинального подхода к построению разностных схем для уравнений в частных производных гиперболического типа — сеточно-характеристических методов, и приводятся некоторые результаты приложений, эти принципы просматриваются наиболее отчетливо.

Метод оказался настолько эффективным и экономичным, что появление обобщающей монографии является безусловно необходимым, несмотря на то что основные идеи метода и отдельные результаты расчетов опубликованы в различных изданиях.

За последние годы разработано большое количество различных численных подходов к решению многомерных задач газовой динамики. Достаточно полные обзоры приведены в самой монографии. Одно из наиболее перспективных направлений в этой области связано с применением метода характеристик, первые разработки которого были проведены еще в начале века. Необходимо отметить, что большой вклад в развитие указанного направления внесли советские ученые.

Создание ЭВМ позволило резко увеличить точность вычислений и использовать метод характеристик в наиболее общей его форме для расчета сложных одномерных нестационарных задач, сверхзвуковых течений газа с учетом физико-химических процессов. С использованием этого метода получено большое количество результатов в этой области. Однако, когда на повестку дня встали пространственные задачи, первые попытки использования характеристических подходов для их решения в общем оказались неудачными. Главная особенность, присущая методу характеристик, — нерегулярность разностной сетки — оказалась серьезным препятствием для обобщения этого метода на многомерный случай. Кроме того, в пространственном случае возникает неоднозначность при построении расчетной схемы в характеристических переменных. Существенное продвижение здесь было получено в работах, основанных на сочетании метода характеристик и конечно-разностных подходов (см. обзор: [5]).

На одной из первых школ по численным методам (г. Киев, 1966 г.,.

[6]) отмечалась перспективность исследований пространственного метода характеристик [7J. Принципиальное значение имел также предложенный метод расчета граничных точек [8]. На основе бихарактеристического метода были проведены систематические расчеты пространственного обтекания притупленных конусов для реальных условий полета [9].

Этот метод, как и многие другие подходы, обзор которых дан в работе [5], строго говоря, не является прямым методом характеристик, а использует условия совместимости в разностной форме для фиксированной сетки. Анализ характеристических свойств уравнений газовой динамики привел к формулировке обратного метода характеристик на основе известных понятий и терминов теории разностных схем. Эти идеи были опубликованы в работах [10, 11], в которых было показано, что, используя определенные комбинации условий совместимости для многомерной гиперболической системы общего вида, можно построить численные схемы типа обратного метода характеристик первого и второго порядков точности. Причем они являются естественным обобщением двумерного метода [12] и обладают высокой эффективностью при конкретных расчетах. Предложенные схемы полностью описываются в терминах метода сеток и получили название сеточно-характеристических методов. Это позволило известным способом исследовать соответствующие схемы на устойчивость, аппроксимацию, монотонность. Анализ для простейшего уравнения переноса показал, что схема первого порядка СХ-метода имеет наименьшую аппроксимационную вязкость среди явных разностных схем для простейшего сеточного шаблона.

В последующем-удалось доказать, что этим свойством обладают и схемы первого порядка СХ-метода в общем случае [13]. При этом был разработан новый аппарат исследования разностных схем — их анализ в пространстве неопределенных коэффициентов. Это позволило существенно расширить возможности СХ-метода и рассмотреть разностные схемы для произвольного наперед заданного сеточного шаблона, в том числе и методы высокого порядка точности [14].

Все эти вопросы методологического и теоретического характера изложены в первых четырех главах монографии, причем в определенной степени сохранен хронологический порядок. Содержание глав достаточно точно соответствует их названиям, но необходимо отметить, во-первых, вводный характер первой главы и первых разделов следующих глав, что позволяет читателю быстрее войти в курс дела, и, во-вторых, ''физический" уровень строгости изложения, что в подобных изданиях, по-видимому, неизбежно, а иногда и желательно, если удается сохранить нужную степень самоограничения и требовательности. По-моему, авторам это удалось, и указанный порядок изложения позволит начинающим вычислителям, студентам использовать данную книгу как дополнительное учебное пособие к известным учебникам по численным методам.

Достоинства любого численного метода проявляются в добытых с его помощью научных результатах или в широте его практического распространения. В этом смысле изложенный в книге СХ-метод выдержал испытание временем. Специалистам в области газодинамики, особенно в гиперзвуковой аэродинамике, хорошо известны соответствующие расчеты, систематические и во многом уникальные, опубликованные в течение 1969;1984 гг. в монографиях и статьях. Часть этих результатов приведена и в гл. V данной книги.

Достаточно полно приводятся в книге новые приложения сеточнохарактеристических методов к решению некоторых задач механики деформируемого твердого тела (гл. VII) и в важной области физики взаимодействия излучения с веществом (гл. VI).

В любой монографии, тем более по численным методам, неизбежны элементы определенных пристрастий, влияние практического опыта работы, маленьких хитростей вычислителя и тщ. Но и они нужны тем, кто хочет воспользоваться новым методом.

О.М. Белоцерковский

• 1. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа: Теорет. и эксперим. исслед. / О. М. Белоцерковский, А. Булекбасв, М. М. Голомазов, В. Г. Грудницкий, В. К. Душин, В. Ф. Иванов, Ю. П. Лунькин, Ф. Д. Попов, Г. М. Рябинков, Т. Я. Тимофеева, А. И. Толстых, В. Н. Фомин, Ф. В. Шугаев. М.: ВЦ АН СССР, 1967. 401 с.
• 2. Численное исследование современных задач газовой динамики / О. М. Белоцерковский, Ю. П. Головачев, В. Г. Грудницкий, Ю. М. Давыдов, В. К. Душин, Ю. П. Лунькин, К. М. Магомедов, В. К. Молодцов, Ф. Д. Попов, А. И. Толстых, В. Н. Фомин, А. С. Холодов; Под ред. О. М. Белоцерковского. М.: Наука; ВЦ АН СССР, 1974. 398 с.
• 3. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред М.: Наука, 1985.
• 4. Дородницын А.Л. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики // Тр. Ill Всесоюз. мат. съезда. М., 1956. М.: Из-во АН СССР, 1958. Т. 3. С 447−453.
• 5.Чушкин ПИ. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений // Тр. ВЦ АН СССР.
• 1968. 121 с.
• 6. Численные методы решения задач механики сплошных сред: Цикл лекций, прочитанный в Летней школе по численным методам. Киев, 1966 г., 15 июня — 7 июля / Под ред. О. М. Белоцерковского. М.: ВЦ АН СССР,
• 1969.
• 7. Магомедов КМ. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа//Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 2. С 313−325.
• 8. Магомедов КМ. О расчете искомых поверхностей в пространственных методах характеристик // ДАН СССР. 1966. Т. 171, № 6. С 1297—1300.
• 9. Лунев В.В., Магомедов КМ., Павлов В.Г. Гиперзвуковое обтекание притупленных конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М.: ВЦ АН СССР, 1968.
• 10. Магомедов КМ., Холодов, А .С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 2. С 373- 386.
• 11. КМ. Магомедов. Сеточно-характеристический метод для численного решения задач газовой динамики // Тр. II Междунар. коллоквиума по газовой динамике взрыва и реагирующих систем. Новосибирск, 1969 г., 19−23 августа. М.: ВЦ АН СССР, 1971. Т. 1.
• 12. Cowant К, Isacsort Е" ReesМ. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communs Pure and AppL Math., 1952, voL 5, N 5. P. 243−254.
• 13. A. C Холодов. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнения гиперболического типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1978. Т. 18, № 6.
• 14. А.С. Холодов. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980. Т. 20, № 6.