Числовые характеристики генеральной совокупности

Наряду с функцией распределения, наиболее полно характеризующей генеральную совокупность случайной величины, существует ряд чисел, характеризующих случайную величину в некотором частном отношении. К числу таких важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание М (Х) определяется первым начальным моментом. Оно представляет собой среднее взвешенное значение случайной величины X:

гдеДх) — плотность распределениях.

Дисперсия D[X] (также используется обозначение а²[Х]) определяется вторым центральным моментом случайной величины и выражается формулой.

или.

Дисперсия характеризует разброс значений X относительно ее математического ожидания.

Выборка и ее характеристики.

Рассчитать значения числовых характеристик генеральной совокупности (в частности, математического ожидания и дисперсии) по формулам (1.11)—(1.12) можно только в том случае, если вся генеральная совокупность находится в распоряжении исследователя. Это очень редкий, крайний случай, при котором случайная величина фактически превращается в детерминированную.

На практике исследователь имеет дело с конечным набором реализаций случайной величины, полученным в результате эксперимента. Такой набор (x_1}x₂, x₃,…, x_N) называется выборкой.

Число полученных экспериментальных результатов N называется объемом выборки.

Основная задача математической статистики заключается в том, чтобы по результатам эксперимента (по данным выборки) высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности.

Выборка должна достаточно полно характеризовать генеральную совокупность, иными словами, она должна быть представительной. Чтобы представительность выборки была обеспечена, необходимо выполнение двух важных условий: во-первых, все элементы генеральной совокупности должны появляться в выборке с одинаковой вероятностью; во-вторых, наблюдения должны быть независимыми, т. е. появление каждого из элементов выборки не должно влиять на вероятность появления других элементов. Так как элементы выборки случайные, все заключения и результаты, полученные на основе выборочных данных, носят вероятностный характер.