Постановка задачи векторной оптимизации

В реальных задачах выбора наиболее предпочтительного решения, возникающих на практике, как правило, присутствуют несколько критериев оптимальности. Можно привести много примеров, когда требуется найти решение, для которого достигались наилучшие значения сразу по нескольким критериям. Наиболее распространенная задача, которую мы решаем очень часто (не облекая ее в термины оптимизации) — это поиск покупки, которая была как можно качественнее и как можно дешевле.

Задачи выбора некоторого решения из множества допустимых решений с учетом нескольких критериев оптимальности называют многокритериальной задачей оптимизации.

Многокритериальные задачи широко распространены в техническом проектировании, например, задача проектирования компьютера с максимальным быстродействием, максимальным объемом оперативной памяти и минимальным весом или задача проектирования электрического двигателя с максимальной мощностью, максимальным коэффициентом полезного действия, минимальным весом и минимальными затратами электротехнической стали (естественно, при ограничениях на необходимые параметры проектируемых устройств). Реальные многокритериальные управленческие задачи также широко распространены, лозунг экономики СССР 80-х гг. — «максимум качества при минимуме затрат», несмотря на его одиозность, выражал сущность большинства проблем управления.

Под многокритериальной задачей зачастую понимают не собственно вербальное описание задачи, а ее модель, а именно: «многокритериальная задача — математическая модель принятия оптимального решения по нескольким критериям. Эти критерии могут отражать оценки различных качеств объекта или процесса, по поводу которых принимается решение».

Формально многокритериальная задача как модель задается в виде:

.

где D — множество допустимых решений. F (x) — векторная функция векторного аргумента x, которую можно представить как F (x)={f1(x), f2(x), …, fk (x) }, где f1(x), f2(x), …, fk (x) — скалярные функции векторного аргумента x, каждая их которых является математическим выражением одного критерия оптимальности. Так как в данной модели используется векторная целевая функция, ее зачастую называют задачей векторной оптимизации. Очевидно, что задача (9.1) не принадлежит классу задач математического программирования, т.к. модели этого класса задач содержат всегда только одну целевую функцию векторного аргумента.

Сущность поставленной задачи состоит в нахождении такого ее допустимого решения, которое в том или ином смысле максимизирует (минимизирует) значения всех целевых функций fi (x), i=1,k. Существование решения, буквально максимизирующего все целевые функции, является редким исключением. (Если вспомнить пример о поиске одновременно очень качественной и очень дешевой покупки, то становится понятным, что нахождение такого решения — редкая удача, но, гораздо более часто, это неразрешимая задача).

Отсюда следует, что принципиальным моментом при решении такого рода задач является предварительная договоренность, а что считать самым предпочтительным решением, т. е. надо договориться об используемом принципе оптимальности. Ранее используемый принцип оптимальности «хорошо то, что доставляет наибольшее (наименьшее) значение имеющемуся единственному критерию оптимальности» в многокритериальных задачах очевидно «не работает».

Задача векторной оптимизации в общем случае не имеет строго математического решения. Для получения того или иного ее решения необходимо использовать дополнительную субъективную информацию специалиста в данной предметной области, которого принято называть лицом принимающим решение (ЛПР), в английском языке — decision maker. Это означает, что при решении задачи разными специалистами с привлечением различных источников информации, скорей всего будут получены различные ответы.

Задачи векторной оптимизации, в настоящее время принято рассматривать в рамках теории принятия решений, основной особенностью задач которой является наличие неопределенности. Эта неопределенность не может быть исключена с помощью различных приемов моделирования и объективных расчетов. В многокритериальных задачах неопределенность состоит в том, что неизвестно, какому критерию отдать предпочтение и в какой степени. Для устранения этой неопределенности необходимо, во-первых, сформулировать специальный принцип оптимальности, а также привлечь дополнительную субъективную информацию ЛПР, основанную на его опыте и интуиции.

Пример 7. Определить число степеней свободы и выбрать регламентированные и оптимизирующие свободные информационные переменные для теплообменника.

Теплообменник предназначен для охлаждения потока горячей жидкости (массовый расход W₁) от температуры до до температуры. В качестве хладоагента в ХТС используют поток воды с температурой. Функционирование теплообменника полностью характеризуется 11 информационными переменными: W1, W2 — массовые расходы горячего потока и хладоагента; h — конструкционный тип теплообменника (противоточный, прямоточный" кожухотрубчатый, «труба в трубе» и т. п.); F — площадь поверхности теплообмена; Q — количество тепла, переданное потоком горячей жидкости потоку хладоагента; K — общий коэффициент теплопередачи; — среднелогарифмическая движущая сила теплопередачи;, , , — температуры горячего потока и хладоагента на входе в теплообменник и на выходе из него.

Математическую модель теплообменника представляют в виде пяти информационных связей: основные уравнения теплопередачи:

где с и — теплоемкости горячего потока и воды.

Таким образом, для исследуемого теплообменника имеем: n = 5; m = 11; F = m-n = 6. В соответствии с технологическими условиями функционирования теплообменника в системе регламентированными ИП являются: W1,, , .Общее число регламентированных переменных = 4. Число оптимизирующих информационных переменных = 2.

Оптимизирующими переменными выбираем конструкционный тип теплообменника h и массовый расход хладоагента W2. Варьирование этих оптимизирующих переменных обеспечит оптимизацию функционирования теплообменника в ХТС. Численные значения базисных (искомых) информационных переменных (F, Q, K, ,) получают после решения математической модели теплообменника.

Пример 8. Оптимизация системы теплообмена. В трёх теплообменных аппаратах осуществляется процесс нагрева основного потока от 1000 C до 5000 C тремя вспомогательными с заданными входными температурами. Известны коэффициенты теплопередачи:

K1=120, K2= 80 K3=40.

w1=w2=W=100 000.

Необходимо подобрать площади поверхностей теплообмена (м2), чтобы критерий оптимизации F1+F2+F3, был минимальным.

Рис.

Математическое описание рассматриваемого процесса представим в следующем виде:

Рис.

Неизвестных 15: K1, K2,K3,F1,F2,F3,t1,t2,t3,T1,T2, W ,.

Уравнений- 9, регламентированные переменные-4: K1, K2,K3, W.

Поисковых переменных — 2.

В качестве поисковых выбраны переменные T1 и T2, сначала вычисляются значения, затем вычисляются значения F1, F2,F3,далее вычисляются значения t1, t2,t3.