Системы линейных алгебраических уравнений

Классификация СЛАУ

Системы линейных алгебраических уравнений составляют основной аппарат линейной алгебры, а их исследование основано на алгебре матриц.

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными даётся формулами алгебраический уравнение гаусс матричный.

(2.1).

В этих формулах называются неизвестными, — коэффициентами при неизвестных, — свободными членами (или правыми частями). Коэффициенты порождают матрицу.

(2.2).

которая называется матрицей (или основной матрицей) СЛАУ (2.1),. Неизвестные, порождают столбец неизвестных

(2.3).

а правые части — столбец правых частей.

.(2.4).

Матрица.

(2.5).

называется расширенной матрицей СЛАУ (2.1).

Арифметический вектор

.

называется решением СЛАУ (2.1), если при подстановке чисел в уравнения (2.1) соответственно вместо мы получаем систему верных числовых равенств.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотябы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если СЛАУ имеет только одно решение, она называется определённой, а если число решений больше 1 — неопределённой.

В результате мы получаем следующую классификацию СЛАУ. Пусть — множество решений СЛАУ, а — мощность (число элементов) множества. Тогда.

Если все правые части СЛАУ равны нулю,, она называется однородной, в противном случае СЛАУ называется неоднородной. Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение.

.

Множество всех решений СЛАУ будем называть её общим решением, а одно фиксированное решение — частным решением. СЛАУ вида (2.1) иногда удобно представлять в виде матричного уравнения.

.(2.6).

где — матрица вида (2.2), — вектор-столбец вида (2.3), а — вектор-столбец вида (2.4). Для того чтобы убедиться, что уравнения (2.6) и СЛАУ (2.1) равносильны (т.е. одновременно неразрешимы или разрешимы, причём в последнем случае их решения совпадают), достаточно в левой части равенства (2.6) провести умножение матрицы на вектор-столбец. Применив после этого принцип равенства матриц, получаем, что матричное равенство (2.6) эквивалентно системе равенств (2.1).