Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными

Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют совокупность двух уравнений вида:

(2.1).

Решением системы (2.1) называют пару чисел, удовлетворяющих каждому уравнению системы т. е.:

.

Каждое уравнение системы определяет прямую на плоскости, следовательно, решение системы есть точка пересечения этих прямых. Найдем координаты этой точки. Выразим из первого уравнения системы неизвестное и подставим его во второе уравнение:

; ;

.

.

Подставим значение в выражение, получим:.

Введем обозначение:. Величину будем называть определителем второго порядка системы (2.1). Тогда, будем называть вспомогательными определителями системы. Запишем определители в виде таблиц, состоящих из двух строк и двух столбцов:

.

Как видно, определитель системы составлен из коэффициентов при неизвестных первого и второго уравнений. Определители и получены из определителя, путем замены первого и второго столбцов, соответственно, столбцом свободных членов системы, что и оправдывает обозначения и .

Очевидно, что решение системы (2.1) можно записать в виде: .

Пример 3. Решить систему:

.

Решение. Вычислим определитель :

.

Определитель .

Определитель. Тогда: .

Ответ: .

Система линейных неравенств с двумя неизвестными имеет вид:

(2.2).

где — коэффициенты системы; - свободные члены или правые части неравенств, — действительные числа. Так как решением каждого неравенства системы является полуплоскость, то решением системы служит многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют каждому неравенству системы. Можно показать, что этот многоугольник выпуклый.

Пример 4. Решить систему неравенств. Многоугольник решений изобразить на чертеже.

Решение. Найдем решение каждого неравенства системы. Заменим в каждом неравенстве знак неравенства на знак равно.

По полученным уравнениям, построим прямые. Рис. 3.

Рис. 3.

Решением служит многоугольник .