Энергия электростатического поля

Как известно из курса физики, энергия электростатического поля, сосредоточенного в объеме, определяется формулой (1.131).

.

Эту формулу можно преобразовать таким образом, чтобы энергия была выражена через заряды. Заменяя вектор Е через и используя тождество, где и — произвольные векторная и скалярная функции, имеющие первые производные, получаем.

(25).

Последний интеграл в (25) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

(26).

гдеповерхность, ограничивающая объем V.

Предположим, что заряды, создающие электростатическое поле, сосредоточены в ограниченной области , и распространим интегрирование в формуле (26) на все пространство. Таким образом, интеграл (26) при убывает как и в пределе равен нулю. Учитывая, что, получаем окончательное выражение для энергии электростатического поля:

(27).

Если электростатическое поле создается поверхностными зарядами, распределенными по поверхности с плотностью, то выражение для энергии электростатического поля принимает вид.

(28).

В случае распределения зарядов вдоль контура с плотностью (заряженная нить):

(29).

В общем случае при наличии зарядов всех трех типов.

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается зарядами, расположенными на проводниках. Пусть имеется проводников (рис. 11), потенциалы которых равны соответственно. Так как потенциал проводника имеет одинаковые значения во всех его точках, а заряды распределены по его поверхности, то, применяя формулу (28), получаем.

где.

— полный зарядго проводника, a — плотность поверхностных зарядов, с которой заряд распределен по поверхности.

рассматриваемого проводника.

Выражение для энергии уединенного проводника, т. е. бесконечно удаленного от других тел и зарядов, находится из формулы (30) как частный случай. Полагая в (30), получаем.

(31).

На энергию электростатического поля не распространяется принцип суперпозиции. Поэтому энергия системы проводников не равна суммарной энергии уединенных проводников. Представим потенциалго проводника в виде суммы:

(32).

где - потенциал уединенного проводника, а -потенциал, создаваемый действием всех остальных проводников. Подставляя (32) в (30), получаем.

.

где.

Величину принято называть собственной энергией системы проводников, a — взаимной энергией.

Можно показать, что заряды, находящиеся на системе заданных проводников, расположенных в диэлектрике, распределяются по поверхности этих проводников таким образом, что энергия получающегося в результате электростатического поля минимальна. Это важное утверждение известно под названием теоремы Томсона.