Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении ряда прикладных задач чаше всего приходится сталкиваться с вычислением «небсрущихся» определенных интегралов от функций (когда первообразные не выражаются через элементарные функции). Существует много формул приближенного вычисления определенных интегралов; здесь мы приведем две наиболее простых из них: формулу трапеций и формулу Симпсона^[1].

Формула трапеций

ь

Пусть в интеграле J/(x)dx функция /(^[1]) непрерывна на отрезке [а, Л].

а

Разобьем отрезок [а, b) на п равных частей точками (узлами) х — х₍ (0 < / < п), как показано на рис. 12.19. Проведем прямые x-x.w соединим соседние точки их пересечения с кривой / (х) хордами, т. е. построим п трапеций с основаниями /(х._,) и/(х_{) и высотой -—- каждая (0 < /? п). Сумма площадей этих.

п

прямоугольных трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции или искомому интегралу:

Рис. 12.19.

Рассмотрим в качестве примера интеграл, точное значение которого вычисляется достаточно просто:

Вычислим этот интеграл, применив формулу трапеций при п = 5. Получаем: х₀ = 0, х, = 0,2, х₂ = 0,4, х_у = 0,6, х₄ = 0,8, x_s = 1,0. Тогда соответственно значения функции в этих узлах:/(х₀) = 1, /(х₅) = 0,5;/(х,) = 0,9615,/(х₂) = 0,8621, f (x₃) = 0,7353 и /(х₄) = 0,6098 (с точностью до четырех знаков). Подставляя в формулу (12.50), получаем:

Абсолютная ошибка полученного результата, как модуль разности между точным и приближенным значениями интеграла, составила. примерно 0,156. Если увеличить число п узлов, то формула (12.50) дасг большую точность; так, при п = 10 имеем:

что отличается от точного значения уже менее чем на 0,0005. Вообще, абсолютная величина погрешности вычислений определенного интеграла по формуле трапеций оценивается по формуле.

если функция /(х) имеет на отрезке [а, Ь непрерывную вторую производную.

• [1] Симпсон Томас (1710—1761) — английский математик.
• [2] Симпсон Томас (1710—1761) — английский математик.