Задачи с решениями

3.1. Докажем справедливость теоремы Штейнера (3.26) для штанги (тонкого стержня), конец которой закреплен на перпендикулярной к ней оси вращения. Дано: /₀ = ml²/12; b = ½;

J ⁼Jo ^+mb2 — ?

Решение. По теореме Штейнера для данного случая.

С другой стороны, расчет момента инерции:

Ответ. Теорема Штейнера выполняется.

3.2. Какая бочка — пустая или наполненная соляркой — скатится быстрее с грузовой платформы по наклонным лагам? Трением пренебречь.

Решение. При движении бочек без проскальзывания их путь одинаков и определяется числом сделанных ими оборотов. Следовательно, время скатывания зависит от их угловых ускорений Сила, скатывающая бочку, приложена к ее центру инерции и является составляющей силы тяжести (рис. 3.8): F = mgsinep. Поскольку мгновенной осью вращения является образующая бочки, соприкасающаяся с наклонной поверхностью, то момент скатывающей силы.

Рис. 3.8.

Если пренебречь моментом инерции торцов, то момент инерции пустой цилиндрической бочки относительно оси, проходящей через ее центр инерции (совпадающей с осью симметрии): J_c = m_lR². Мгновенная ось вращения параллельна этой оси и смещена относительно нее на R. Следовательно, но теореме Штейнера.

Для полной бочки Таким образом,.

Ответ. е₂ > ?, т. е. полная бочка скатится быстрее.

3.3. При вылете из ствола модернизированного автомата Калашникова пуля имеет частоту вращения 3000 с '. Длина нарезной части ствола — 369 мм, шаг нарезов — 240 мм. Каково время движения пули в стволе и скорость ее вылета? Движение считать равноускоренным.

Дано: v = 3000 с" ¹; / = 369 мм = 0,369 м; h = 240 мм = 0,24 м.

v —? t — ?

Решение. Линейная скорость нули при вылете из ствола

При равноускоренном движении без начальной скорости.

Подставляя данные, получим v = 720 м/с, t = 1,03 • 10″ ³ с.

3.4. Ось ротора гироскопа под действием момента внешних сил 0,2 Н м вращается в горизонтальной плоскости (прецессия), делая полный оборот за 100 с. Определим частоту вращения ротора гироскопа, если его момент инерции 3 -10 ³ кгм². Дано: М= 0,2 Нм; Т = 100 с; / = 3 -10 ³ кг-м². v — ?

Решение. Угловая скорость прецессии.

где L — момент импульса ротора, вращающегося с угловой скоростью со:

Таким образом,

Подставляя данные, получим v «1,7−10⁴ мин» ¹.

3.5. Стартер СТ103 имеет среднюю частоту вращения 2000 мин^-1 при среднем крутящем моменте 25 Нм. Какую работу он совершает при запуске двигателя, который длится 5 с?

Дано: v = 2000 мин" ¹ = 33,33 с¹; М = 25 Нм; t = 5 с.

Л-?

Решение. Мощность, развиваемая стартером: Р = Мсо (по аналогии при поступательном движении Р = Fv). Поскольку со = 2ttv, то Р = 2rcMv, а совершаемая работа.

Подставляя данные, получим А «26 кДж.

Задачи для самостоятельного решения

• 3.6. Какова линейная скорость поверхности Земли на широте 60°, обусловленная ее вращением относительно собственной оси?
• 3.7. При разгоне автомобиля его колеса вращались по закону ср = nt³/50 рад. Каковы угловая скорость и угловое ускорение колеса в момент, когда после начала движения оно совершило 80 оборотов?
• 3.8. Пуля массой 9,6 г калибра 7,62 мм вылетает из ствола пулемета Калашникова, вращаясь вокруг своей оси с частотой 3400 с" ¹. Каковы ее момент инерции и момент импульса относительно оси вращения? Пулю считать однородным цилиндром.
• 3.9. Маховик двигателя автомобиля ЗИЛ-131 при частоте вращения коленчатого вала 900 мин^-1 имеет момент импульса 42 кгм²/с. Какую работу нужно совершить, чтобы раскрутить его дополнительно до 2400 мин" ¹?
• 3.10. Коленчатый вал двигателя автомобиля вращается на холостом ходу с частотой 850 оборотов в минуту. Какую мощность развивает двигатель, если момент сил трения составляет 50 Нм?