Критерий Коши равномерной сходимости
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,. Значит, определение равномерной сходимости проверено. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится. Пусть выполняется условие критерия Коши. По определению равномерной сходимости,. Сходится. Тогда равномерно сходится на. Пусть ряд равномерно сходится. Ряд равномерно сходится на. По условию критерия Коши,. Где — сумма ряда. Тогда… Читать ещё >
Критерий Коши равномерной сходимости (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Критерий Коши для последовательности. Чтобы последовательность функций, определённых на множестве, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовал номер, такой, что при всех больше либо равных, одновременно для всех выполнялось неравенство.
Ряд равномерно сходится на.
Доказательство:
Пусть ряд равномерно сходится.
где — сумма ряда. Тогда.
По определению равномерной сходимости, .
В силу предыдущего неравенства,, то есть, выполняется условие критерия Коши.
Пусть выполняется условие критерия Коши.
для выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
По условию критерия Коши,.
Как и в первой половине доказательства,, но. В неравенстве с можно подставлять любой фиксированный. Устремим :
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
Признак Вейерштрасса
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса) Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
Теорема (Вейерштрасс):
, , — сходится. Тогда равномерно сходится на .
Доказательство:
Применим критерий Коши:
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,.
. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.