Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Критерий Коши равномерной сходимости

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,. Значит, определение равномерной сходимости проверено. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится. Пусть выполняется условие критерия Коши. По определению равномерной сходимости,. Сходится. Тогда равномерно сходится на. Пусть ряд равномерно сходится. Ряд равномерно сходится на. По условию критерия Коши,. Где — сумма ряда. Тогда… Читать ещё >

Критерий Коши равномерной сходимости (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Критерий Коши для последовательности. Чтобы последовательность функций, определённых на множестве, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовал номер, такой, что при всех больше либо равных, одновременно для всех выполнялось неравенство.

Ряд равномерно сходится на.

Критерий Коши равномерной сходимости.

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится.

Критерий Коши равномерной сходимости.

где — сумма ряда. Тогда.

Критерий Коши равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости.

По определению равномерной сходимости, .

В силу предыдущего неравенства,, то есть, выполняется условие критерия Коши.

Критерий Коши равномерной сходимости.

Пусть выполняется условие критерия Коши.

для выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

Критерий Коши равномерной сходимости.

По условию критерия Коши,.

Критерий Коши равномерной сходимости.

Как и в первой половине доказательства,, но. В неравенстве с можно подставлять любой фиксированный. Устремим :

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

Признак Вейерштрасса

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса) Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Критерий Коши равномерной сходимости.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

Критерий Коши равномерной сходимости.

, , — сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

Критерий Коши равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости.

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,.

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

Показать весь текст
Заполнить форму текущей работой