Использование коэффициента эластичности в экономике

Коэффициенты эластичности используются при анализе функций спроса при любом числе различных товаров. В качестве примера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть — количествого товара, — его цена (Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (например, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каждый товар зависит от обеих цен и :

(7)

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напротив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (7) можно разрешить относительно и в следующем виде:

(8)

Системы (7) и (8) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5 матрица коэффициентов эластичности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица к матрице коэффициентов эластичности спроса по ценам. Заметим, что в случае, когда перекрестные коэффициенты не равны нулю,. Действительно, используя известную из линейной алгебры формулу для обратной матрицы, находим, что.

.

.

Однородные функции. Формула Эйлера.

Пусть — область в, содержащаяся вместе с каждой своей точкой и все точки вида при. Функция с такой областью определения называется однородной степени, если для любого выполняется равенство.

.

Однородный многочлен степени является, очевидно, однородной функцией той же степени однородности. Например, многочлен.

является однородной функцией степени 2 .

Степень однородности может быть любым действительным числом. Например, функция является однородной функцией степени от переменных и. Примером однородной функции степени 1 может служить производственная функция Кобба-Дугласа* .

Предположим, что дифференцируемая функция является одновременно и однородной функцией степени. Фиксируя произвольную точку для любого, имеем.

Продифференцируем левую и правые части этого равенства по (левую частьпо правилу дифференцирования сложной функции, правую часть — как степенную функцию). В результате приходим к тождеству Положив здесь, получим формулу Эйлера:

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от любого числа аргументов. Например, формула Эйлера для функции трех переменных выглядит следующим образом:

или, короче,.

. (9)

Предположим, что функция не обращается в нуль в некоторой точке. Разделив тогда левую и правую части равенства (9) на значение функции в этой точке, получим формулу.

, (10)

где - коэффициенты эластичности по , по и по в точке .

Пример. Проверить соотношение (10) для функции .

Решение. Находим ,, .

Следовательно,, что согласуется с равенством (10), поскольку степень однородности функции равна 0.