Признаки сходимости Даламбера, Коши и Лейбница

Числовой ряд Ј a_k называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Ј |a_k.

Числовой ряд Ј a_k называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд Ј |a_k| из модулей его членов — расходится.

Признак Даламбера Рассмотрим ряд Ј a_k.

Если lim ^^/а^ = L, то при L 1 — расходится.

Признак Коши Рассмотрим ряд Ј a_k.

Если lim k ak = L, то при L <1 — ряд сходится абсолютно, a при L> 1 — расходится.

ПРИМЕР 1.

Проверить сходимость ряда:

Решение.

½ⁿ+¹. 2^П Проведем рассчет: lim = lim = ½ < 1,.

n—ж ½ⁿ n—ж 2ⁿ+¹

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

ПРИМЕР 2.

Проверить сходимость ряда: Z (- ₇)^п.

_П=1 3п +1.

Решение Проведем рассчет: lim.

^r n ^л 3n+1.

1- n 1 — lim = ^ < 1.

ⁿ ^^да 3n+1 ³

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Знакочередующийся ряд:

^a1 ^— a2 + ^a3 ^- — + ^{(- 1) n} + ' ^an ^- — = Z ^(-1)n + ^an^,

n=1.

причем а_и > 0.

Теорема Рассмотрим знакочередующийся ряд:

a! — a2 + a3 ;

Если сходится соответствующий ряд с положительными членами: a1 + а2 + аз + ,.

то сходится и исходный знакочередующийся ряд ПРИМЕР 3.

^да1 Рассмотрим ряд: Z (- 1)ⁿ

Решение Соответствующий ряд с положительными членами: Z~у Поскольку этот ряд сходится (р = 2 > 1), то сходится и исходный знакочередующийся ряд.

Признак сходимости знакочередующего ряда (признак Лейбница) Для сходимости знакочередующего ряда: ai — a₂ + а₃ — а₄ +…+ (-l) a_n -… необходимо, чтобы:

• 1. lim a_k =0.
• 2. a_k > а^₊₁ > 0 (k = 1, 2,…).

ПРИМЕР 4.

Ряд X (-1)' In =1 vn.

сходится, т.к.

Выполнены оба условия признака Лейбница.

ЗАДАНИЕ.

7). x (-1)"; 8). x (-1)" —-;

n=1 (n + n).

n=1.

9). x (-1)ⁿ

n=1.

n³ + 2.

Степенные ряды

Функциональный ряд вида.

a0 + a1(x — x0) +… + ап (х — х0) +… = у а-(х — хв) (2.4).

называется степенным рядом. Здесь a₀,… а_П,… — последовательность вещественных чисел.

Формула Коши-Адамара определяет радиус сходимости степенного ряда.

Можно доказать теорему, что степенной ряд (2.4) абсолютно сходится на интервале (^-R, х₀+R) и расходится вне этого интервала (рис. 2.1.). Интервал (х₀^, х₀+R) называется интервалом сходимости степенного ряда (2.4).

Радиус сходимости можно рассчитать и по формуле ПРИМЕР 1.

Определить область сходимости степенного ряда:

у х-Ч^-)¹¹.

n=1 ^3п — ¹

Решение.

R = lim.

n ^да.

*зП-т.

lim ³ⁿ-¹ = 3.

n^да n.

Следовательно, интервал сходимости имеет центр х₀ = 0 и радиус сходимости R = з.

Тогда интервал сходимости равен (- 3; 3).

ПРИМЕР 2.

Определить область сходимости степенного ряда: Z —^2)_

Решение.

1/3^п 3 = lim г = lim.

п +1.

п^да1/3^п+¹ п^да 3^п= 3.

Итак, область сходимости степенного ряда — множество -1 < х < 5.

ЗАДАНИЕ Определить область сходимости степенных рядов: