Метод наименьших квадратов

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов — метод наименьших квадратов — основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:

• (у1 — у1)2 + (у2 — у2)2 +. .. + (уn — yn)2 = S.
• S должно быть наименьшим (минимальным)

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:

(y — yt)2 = min.

Из курса математического анализа известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частные производные и приравнять их к нулю. Найдём минимум функции, используя уравнение параболы.

Имеем:

(y — yt)2 = S;

заменяем:

yt = a0 + a1 t + a2 t 2.

и получаем:

(y — a0 — a1 t — a2 t 2)2 = S.

Находим частные производные функции S сначала по параметру а0, а затем по а1 и а2, и приравниваем их к нулю.

Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров а0, а1 и а2 при выравнивании по параболе второго порядка.

При выравнивании по показательной функции yt = a0 a1t параметры а0 и а1 определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений.