Вывод уравнения колебания струны

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Если струну вывести из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться.

Будем рассматривать только поперечные колебания, т. е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении, перпендикулярном положению равновесия. Если положение равновесия принять за ось, то процесс будет характеризоваться одной скалярной величиной — отклонением от положения равновесия точки струны в момент времени. Поэтому, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нужно найти зависимость от и, т. е. найти функцию .

При каждом фиксированном значении график функции представляет форму струны в этот момент времени. Частна производная дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой (рис. 1.2). При постоянном значении функция дает закон движения точки с абсциссой вдоль прямой, параллельной оси, производная — скорость этого движения, а вторая производная — ускорение. Задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция .

Для решения данной задачи сделаем несколько предположений.

А. Будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения, заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне (рис. 1.2).

Б. Струна упругая, вследствие чего возникают лишь силы натяжения, которые подчинены закону Гука: натяжение струны пропорционально ее удлинению.

В. Пренебрегаем толщиной струны, т. е. считаем ее нитью.

Г. На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси, которые могут меняться вдоль струны со временем. Будем считать, что эти силы непрерывно распределены вдоль струны. Величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз — отрицательной. Плотность распределения этих сил обозначим через. Если единственной внешней силой является вес струны, то, где — плотность струны, а — ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, пренебрегаем.

Д. Будем рассматривать только малые колебания струны. Математически это означает, что отклонения малы и, следовательно, угловой коэффициент струны (угол) в любой момент времени столь мал, что квадратом углового коэффициента можно пренебречь в сравнении с единицей).

Е. Величину силы натяжения можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени .

Дадим обоснование этому допущению. Выделим произвольный участок струны, который при колебании струны деформируется в участок (рис. 1.3). Длина дуги в момент времени равна:

.

Следовательно, при предположении п. Д в процессе колебания удлинения участков струны не происходит. Отсюда, в силу закона Гука, следует, что величина натяжения в каждой точке остается неизменной во времени. Покажем также, что натяжение не зависит и от, т. е.. Действительно, на участок струны действуют силы натяжения и, направленные по касательным к струне в точках и, внешние силы и силы инерции. Воспользуемся принципом кинетостатики, на основании которого все силы должны уравновешиваться (принцип Даламбера). Согласно принципу Даламбера сумма проекций на ось всех сил равна нулю. Так как рассматриваются только поперечные колебания, то внешние силы и силы инерции направлены по оси и потому сумма проекций сил запишется так:

.

Но, , где — угол между касательной в точке с абсциссой к струне в момент с положительным направлением оси. Итак, имеем.

.

Учитывая малость колебаний, можно заменить:

.

Тогда получим, что. Отсюда, ввиду произвольности и, следует, что величина натяжения не зависит от. Таким образом, можно считать, что при всех значениях и .

Перейдем теперь к выводу уравнения колебания струны при сделанных допущениях (см. пп. А — Е).

Составим сумму проекций всех сил на ось: сил натяжения, внешних сил и сил инерции.

Сумма проекций на ось сил натяжения, действующих в точках и, запишется в виде.

.

Вследствие предположения п. Д.

.

Следовательно, .

Замечая, что ,.

окончательно получаем.

.	(1.112).

Обозначим через внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось внешней силы, действующей на участок, будет равна.

.	(1.113).

Обозначим через линейную плотность струны; тогда на участок будет действовать сила инерции, равная.

.	(1.114).

Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил (1.112), (1.113), (.114), получим.

.	(1.115).

Если подынтегральная функция непрерывна, то из равенства нулю интеграла следует, что функция тождественно равна нулю в этой области. Предполагая существование и непрерывность вторых производных функции, а также непрерывность функций и, заключаем, что в силу произвольности и, подынтегральная функция должна равняться нулю для всех и :

или.

.	(1.116).

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.

Если струна однородная, т. е., то уравнение (1.116) обычно записывается в виде.

.	(1.117).

где, .

Неоднородное уравнение (1.117) называется уравнением вынужденных колебаний струны; если, т. е. внешняя сила отсутствует, то уравнение (1.117) становится однородным:

.	(1.118).

Уравнение (1.118) описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (1.117) — одно из простейших уравнений гиперболического типа и в то же время одно из важнейших дифференциальных уравнений математической физики. К нему сводится не только рассмотренная задача, но и многие другие.

Формулировка краевых задач. Граничные и начальные условия Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равны нулю при любых :

.

или.

.	(1.119).

Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.

Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени. В начальный момент времени всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:

.

или.

,.	(1.120).

где и — заданные функции.

Условия (1.120) называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции и, смешанная задача имеет единственное решение.

Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.

Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:

I., ;

II., ;

III., ,.

где , — известные функции, а , — известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т. д.) перемещаются по заданному закону; условия II — в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III — в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) — однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для при, удовлетворяющее начальным условиям:

.

Эту задачу называют задачей Коши.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I-III при .

К основным уравнениям математической физики относятся следующие уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое и телеграфное уравнения Уравнение.

(2.59).

где скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением. В приведенном уравнении обозначают декартовы координаты точки, время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид.

.	(2.60).

В одномерной области уравнение (2.60) принимает вид.

.	(2.61).

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

• а) малые поперечные колебания струны (при этом под понимают поперечное отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени); уравнение колебание струна волновой
• б) продольные колебания упругого стержня (продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);
• в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;
• г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь (давление или расход).

Уравнение вида.

(2.62).

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах (сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах (давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности.

Уравнение.

(2.63).

где параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности.

Оно имеет вид для плоского случая.

(2.64).

для одномерного.

.	(2.65).

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массои теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неустановившемся режиме распределения тепла (при этом означает коэффициент температуропроводности, а температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени), о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках (коэффициент пьезопроводности, давление в любой точке среды), о неустановившейся диффузии (коэффициент диффузии, концентрация), о течении жидкости в магистральных трубопроводах (давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением.

.	(2.66).

где функция характеризует интенсивность функционирующих источников.

Уравнения (2.63) — (2.66) являются простейшими уравнениями параболического типа.