Примеры решения задач

7.10.1. Найти максимальную глубину, на которую может быть опущен батискаф на стальном тросе, если предел прочности стали на разрыв (максимальное механическое напряжение) а"" а ее плотность р_с. Весом батискафа по сравнению с весом троса можно пренебречь.

Решение. Глубину, на которую можно опустить батискаф, офаничивает только собственный вес троса. Вверх на трос действует сила натяжения, максимальное значение которой составляет (раздел 7.5.1).

где S — площадь сечения троса. В том же направлении действует и сила Архимеда, равная

р_ц — плотность воды, g — ускорение свободного падения, V и I — объем и длина троса соответственно. Вниз на трос действует только сила тяжести.

причем р_с — плотность стали. В равновесии все силы должны быть скомпенсированы

откуда после подстановки вышеприведенных формул для сил и сокращения на 5 получаем для максимально возможной длины троса следующее выражение

7.10.2. Стальной стержень длиной (_с с площадью сечения S_c приварили к алюминиевому стержню длиной ?_а с площадью сечения 5_а. Считая механический контакт между стержнями идеальным, найти коэффициент упругости получившегося стержня.

Решение. Коэффициенты упругости стального и алюминиевого стержней соответственно равны (п. 7.5.1).

где Е_с и ?_а — модули Юнга для стали и алюминия. Если растянуть один из стержней внешней силой F, то, поскольку стержни соединены последовательно, в равновесии силы натяжения в обоих стержнях одинаковы и равны внешней силе

здесь д?_с и Д^_а — абсолютные удлинения стержней. Ясно, что полное удлинение соединенного стержня.

а его коэффициент упругости, по определению, равен.

Выражая д^_с и д?_а через F

и подставляя их в последнее соотношение, получаем.

• — решение задачи. Нетрудно заметить, что полученная формула имеет тот же вид, что и полное сопротивление при параллельном соединении проводников или полная емкость при последовательном соединении конденсаторов. (Рекомендуется сравнить с задачей 2.3.9 из первой части).
• 7.10.3. Модифицированный закон Гука в дифференциальной форме, учитывающий его отклонение от линейности, имеет вид (ср. п. 7.5.1)

где Р связан с параметром ангармоничности Грюнайзена. Оценить из этого закона предел прочности материала.

Решение. По определению, предел прочности — максимальное механическое напряжение, которое еще выдерживает материал без разрушения. Дифференцируя функцию о (е), приравнивая производную к нулю.

и подставляя г_т в выражение для а, получаем.

По порядку величины такая оценка дает вполне разумные значения для предела прочности.

7.10.4. В урановой руде отношение числа ядер ²³⁸?/ к числу ядер ²⁰⁶РЬ составляет г) = 2,8. Оценить возраст руды, считая, что весь свинец ^ШРЬ является конечным продуктом распада уранового ряда. Период полураспада ^ши равен Т/2 =4,5−10⁹ лет.

Решение. Считаем, что в начальный момент в урановой руде полностью отсутствует свинец. По закону радиоактивного распада (п. 7.4.6).

Тогда число ядер ²³⁸(/ в настоящее время составляет.

где N₀ — начальное число ядер ^ши. Все распавшиеся ядра урана превратились в свинец, и число ядер свинца составляет.

Учитывая, что в настоящее время Ny относится к Npb как г| = 2,8. записываем уравнение.

Логарифмируя последнее соотновение, получаем.

7.10.5. Вывести закон Ома и закон Джоуля—Ленца для металлов в дифференциальной форме.

Решение. Как известно, законы Ома и Джоуля—Ленца имеют вид.

и относятся к проводнику тока в целом, т. е. имеют интегральную форму. Здесь I — ток в проводнике, U — напряжение на концах рассматриваемого участка. R — сопротивление этого участка, Q — количество выделяемой за время t теплоты.

В дифференциальной форме эти законы относятся к любому, сколь угодно малому участку проводника, поэтому все входящие в них величины должны быть локальны, т. е. определяться в одной и той же точке.

Чтобы получить законы в такой форме, выразим в них ток через его плотность и сечение проводника.

напряжение — через напряженность поля и длину проводника.

а сопротивление — через электропроводность, длину и площадь сечения проводника

После подстановки этих выражений в закон Ома получаем.

где j — плотность электрического тока в данной точке, а — электропроводность проводника, которая тоже может меняться от точки к точке. Е — напряженность поля также в данной точке. Таким образом, полученный закон Ома носит чисто локальный характер.

Аналогично подставляя эти выражения в закон Джоуля-Ленца и деля на объем проводника.

получаем для плотности выделяемой мощности следующее выражение.

Это и есть искомая форма закона Джоуля—Ленца, т. к. все входящие в него величины (Р. а, Е) локальны и относятся к одной и той же точке проводника.

7.10.6. Монокристалл нагревают от температуры, близкой к абсолютному нулю, до температуры, много меньшей характеристической температуры Эйнштейна 0?. Оценить по теории теплоемкости Эйнштейна необходимое для этого количество теплоты.

Решение. По теории Эйнштейна (п. 7.7.3), молярная теплоемкость твердого тела при низкой температуре.

Используя формулу раздела 7.7.5, получаем.

7.10.7. Определить максимальную частоту фонона в материале с плотностью р, молярной массой А/ и скоростью звука и.

Решение. Согласно пункту 7.7.2, предельная частота фонона.

Межатомное расстояние d определяется из следующих соображений. Если мы разделим массу моля А/ на плотность р, то получим объем, приходящийся на 1 моль (молярный объем).

Тогда на один атом приходится объем V

этот объем равен обратной концентрации и кубу межатомного расстояния

Таким образом, среднее межатомное расстояние равно а предельная частота фонона.

7.10.8. В результате температурных исследований некоторого твердого тела в окрестности комнатных температур 7о удалось установить, что его теплоемкость при нагревании практически не меняется, теплопроводность растет, а электропроводность медленно падает. Из какого материала оно, скорее всего, состоит, и что можно сказать о его температуре Дебая?

Решение. Согласно п. 7.8.3 и п. 7.8.4, рост теплопроводности и падение электропроводности с ростом температуры — признаки металла. Первая растет в основном за счет роста теплоемкости электронного газа, т. е. за счет роста числа свободных (‘'оттаявших'*) электронов вблизи поверхности Ферми, способных переносить тепло. Вторая падает за счет уменьшения времени релаксации, т. е. за счет более частых столкновений движущегося электрона с ионами решетки. Теплоемкость же (раздел 7.8.2) на изменение энергетического распределения электронов никак не реагирует и определяется только ионной решеткой. То, что она неизменна, говорит о ее классическом характере (закон Дюлонга—Пти) и, следовательно, о том, что температура Дебая 0п <�С То (п. 7.7.4).

7.10.9. В результате температурных исследований некоторого твердого тела в окрестности комнатных температур То удалось установить, что его теплоемкость и электропроводность при нагревании растут, а теплопроводность падает. Из какого материала оно, скорее всего, состоит, и что можно сказать о его температуре Дебая?

Решение. Рост электропроводности твердого тела при нагревании в окрестности комнатных температур — явный признак полупроводника (п. 7.9.2). Электропроводность здесь увеличивается за счет роста числа носителей тока — электронов и дырок. Теплопроводность полупроводника, ввиду относительно малого числа свободных зарядов, определяется фононами и поэтому ведет себя также, как теплопроводность диэлектриков. Она падает с температурой за счет уменьшения длины свободного пробега фонона, причем чаще фононы сталкиваются не с дефектами решетки, а друг с другом. Рост теплоемкости свидетельствует о неклассическом (квантовом) характере фононного газа и. следовательно, о том, что до температуры Дебая еще далеко: 0d > 7q.

7.10.10. Почему ферромагнетик называют системой с памятью? В чем основа магнитной памяти?

Решение. Согласно п. 7.8.5, для ферромагнетиков характерно явление гистерезиса (в дословном переводе — запаздывания). Намагниченность в магнетике J определяется не только внешним полем Н в данный момент времени, но и предыдущим состоянием («предисторией») магнетика. Чем магнетик более жесткий, чем больше площадь петли гистерезиса, тем «крепче его память», тем труднее изменить его сиюминутное состояние внешним полем. Например, при нулевом внешнем поле В = О намагниченность может иметь любое значение от У = -Jr до J = Jr — в зависимости от предыдущего состояния ферромагнетика (см. 1рафик п. 7.8.5). В этом и состоит память ферромагнетика.