Пространство элементарных событий. 
Случайные события

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А — появился герб при бросании монеты;

В — появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С — попадание в цель при выстреле;

D — появление туза при извлечении карты из колоды и т. д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Причем для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события — достоверное событие — U, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие — V, которое нс может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие А, которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие А + В (A (J В), заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие АВ (А П В), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие А В называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и нс происходит В.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

• • А + В = В + А- коммутативность сложения;
• • А + (В + С) — (А + В) + С — ассоциативность сложения;

• • AB — BA — коммутативность умножения;
• • A (BC) = (AB)C — ассоциативность умножения;
• • A (B + С) = AB + АС; A + ВС = (A + B)(A + С) — законы дистрибутивности.

Предположим, что среди всех возможных событий А, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

• • во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т. е. являются непересекающимися;
• • во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
• • в-третьих, каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или нс происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой со, а их совокупность Q называется пространством элементарных событий.

Достоверное событие U, наступающее в результате любого из элементарных исходов со, при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: U = Q.

Невозможное событие V, не наступающее ни при каком элементарном исходе со, совпадает с пустым множеством и обозначается V = 0.

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиями:

• • А + А = A, Af] А = А;
• • A + D.-Q, АГ^ = А;
• • A + A=Q, Af) A=0;
• • 0 = П, П = 0, А = А;
• • АВ = А[)В;
• • А + В = Af] в, Af]B = А + В — законы де Моргана.

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если А П В — 0 (т. е. событие невозможно).

События E_v Е₂, …, Е_п образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и ?, U Е₂ U Е_г U… U Е_к = = Е_к, т. е. из этих.

к

событий происходит одно и только одно.

ПРИМЕР 8. Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) А + В; б) АВС; в) АС — В?

РЕШЕНИЕ: а) событие А + В состоит в том, что победитель награжден призом или премией, или призом и премией одновременно;

• б) событие АВС состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно;
• в) событие АС — В состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера-Венна.

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий Q.

ПРИМЕР 9. Описать пространство элементарных событий следующего опыта — брошены две игральные кости.

РЕШЕНИЕ. Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел (о = {а, Ь), где а — число очков на первой кости, b — число очков на второй кости. Известно, что (1 < а, b < 6), причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет па второй кости и наоборот. Отсюда получим: