Модели с фиктивными независимыми переменными

Использование фиктивных переменных имеет следующие преимущества:

Интервалы между наблюдениями не обязательно должны быть одинаковыми. В выборке могут быть пропущенные наблюдения.

Коэффициенты при фиктивных переменных легко интерпретировать, они наглядно представляют структуру динамического процесса.

Для оценивания модели не приходится выходить за рамки классического метода наименьших квадратов.

Если не принимать во внимание отмеченные различия и попытаться построить единую, обобщенную модель для периода (0, T₂), то, очевидно, что ее уравнение будет соответствовать пунктирной линии, проходящей между сплошными линиями, характеризующими реальные тенденции процесса в рассматриваемых периодах.

Если ввести фиктивную переменную x_0i, i=1,2, со следующими свойствами:

и матрица исходных данных для такой модели примет следующий вид:

Тогда эконометрическая модель типа, описывающая заболеваемость в регионе в зависимости от условий жизнедеятельности, времени года и половозрастной группы индивидуума, может быть представлена в следующем виде:

(1).

где х_it — факторы жизнедеятельности.

Оставление свободного члена в модели заболеваемости, приведет к уменьшению числа ее фиктивных переменных. В этом случае выражение преобразуется к виду:

(2).

Вместе с тем, фиктивные переменные могут быть применены при построении сплайн-функций любой модификации. Рассмотрим следующий пример. Пусть зависимая переменная у характеризует уровень дохода, а единственная переменная х — возраст индивидуума.

Предполагается, что в различных возрастных группах доход определяется специфическими формами зависимости следующего вида:

(3).

Введем фиктивные переменные d₁ и d₂, такие что d₁=1, если х20, и d₂=1, если х30. Тогда три уравнения из выражения (3) могут быть объединены в одно, следующего вида:

(4).

Заметим, что коэффициенты наклона на рассматриваемых участках согласно выражению (4) определяются следующим образом:

(5).

а свободные члены должны удовлетворять условию равенства функции у соответствующих участков х=20 и х=30. Исходя из этого получим.

(6).

Выражение (6) определяет систему линейных ограничений на коэффициенты модели (3) следующего вида:

(7).

Подставляя ограничения (6) в (4), получим рассматриваемую модель дохода как сплайн-функцию в следующем виде:

(8).

где, напомним, d₁ и d₂ — фиктивные переменные, принимающие значения 1 на втором и третьем возрастных интервалах соответственно, и 0 — в противном случае.

В «фиктивной» форме может быть выражена и зависимая переменная. Такая ситуация имеет место, например, при проведении социологических опросов, когда их результат может быть представлен двумя ответами «да», «нет» (1 или 0) (предполагаемая покупка автомобиля, дачи; желание иметь ребенка в семье и т. п.), а влияющие на этот результат факторы выражаются в произвольной форме (количественные характеристики — уровень дохода, жилая площадь и т. п., качественные характеристики — уровень образования и т. д.). Тогда расчетные значения, определенные по модели при различных комбинациях значений независимых переменных х_i, можно интерпретировать как оценку условий вероятности события у при фиксированных значениях х_i, i=1, 2, …, n.