Интеграл Пуассона. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Пусть f (z) есть функция, аналитическая внутри и на границе круга К радиуса R (за центр круга мы примем, например, начало координат). Для произвольной точки 2 = лежащей внутри К_у мы имеем по формуле Коши:

Рассмотрим точку z*-, симметричную относительно К с точкой г,.

D2 D2.

т. е. z* = —= — е¹?. Так как точка z* лежит вне К, то функция.

Z г

будет аналитической внутри и на границе круга К, а потому по теореме Коши получим:

Вычитая из (81) равенство (82), находим:

которое после элементарных преобразований примет вид:

Сравнивая действительные части слева и справа последнего равенства, получим формулу.

которая носит название интегральной формулы Пуассона. Так как каждая гармоническая функция и может быть рассматриваема как действительная часть аналитической функции, то с помощью этой формулы выражается значение любой гармонической функции внутри круга через её граничные значения.

Заметим ещё, что мы получим из формулы (84) частные производные функции и относительно г и <�р (или х w у) для внутренней точки круга, если продифференцируем выражение, стоящее под знаком интеграла.

Формула (84) Пуассона принимает особенно простой вид при /* = 0; тогда будет:

т. е. значение гармонической функции в центре круга равно среднему арифметическому её значению на окружности этого круга.

Пользуясь формулой Пуассона, можно доказать следующее предложение о сходимости последовательности аналитических функций, которым нам придётся в дальнейшем пользоваться: если последовательность функций f_v (z)_y /₂ (z), …, f_n (z), …, аналитических в области G, в точке z = 0 этой области сходится к нулю, а действительные части и_п этих функций сходятся разномерно к нулю во всей области G, то функции f_l (г), /., (г), …, f_n (z), … сходятся равномерно к нулю во всякой замкнутой области, принадлежащей G.

В самом деле, пусть О*— произвольная замкнутая область, принадлежащая О. Обозначим через R число такое, что замкнутый круг радиуса R с центром в любой точке G* целиком лежит в области G- Произвольную точку Р в области G* примем за центр круга радиуса R; прилагая формулу (84), дифференцируем её по г и полагаем затем г = 0; тогда получаем:

Обозначим через М_п верхнюю границу и_п в области G, т. с. | и | ^ М_п. Вследствие равномерной сходимости к нулю в области G функций и_п мы заключаем, что/И_л—>0, когда п неограниченно возрастает. С другой стороны, сравнивая последнюю формулу с равенством.

~^пcos ^ sin <�а, мы видим, что Or Ох ^т 1 д v

Следовательно, в каждой точке Р области G* имеем:

Так как = то

z

Из очевидной формулы: f_n (z) =f'_n (ч) dZ -j- f_n (0) выводим нера;

o.

bchctbo:

где p обозначает максимум z для области G*. Так как М_п —? 0 и /_я(0)—?О, то последнее неравенство доказывает равномерную сходимость к нулю функций f_n(z) в области О*.