Решение треугольников в 9 классе

1. Технологии обучения

1.1 О проблемном обучении

1.2 О модульной технологии обучения

2. Анализ методических особенностей изложения темы «Решение треугольников в 9 классе» в различных действующих учебниках по геометрии

3. Примерное тематическое планирование

4. Методические рекомендации к изучению темы

4.1 Синус, косинус, тангенс угла

4.2 Теореме о площади треугольника

4.3 Теорема синусов

4.4 Теорема косинусов

4.5 Решение треугольников

4.6 Решение треугольников по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них

5. Планы — конспекты уроков

5.1 Урок № 1: Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество

5.2 Урок № 2: Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

5.3 Урок № 3: Теорема о площади треугольника

5.4 Урок № 3: Теорема синусов. Решение задач

5.5 Урок № 4: Теорема косинусов. Решение задач

5.6 Урок № 5: Решение треугольника по стороне и двум углам

5.7 Урок № 6: Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

5. Урок № 7: Решение треугольника по трем сторонам

5.9 Урок-факультатив: Решение треугольника по двум сторонам и углу лежащему против одной из них

5.10 Урок-обобщение по теме: «Решение треугольников»

5.11 Контрольная работа по теме: «Решение треугольников»

Заключение

Литература Приложения

Данная дипломная работа посвящена теме: «Решение треугольников в 9 классе».

Треугольник — это самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал ещё в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольник встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах.

При помощи построения треугольников и на основании признаков их равенства издавна вырабатывались разные способы определения расстояния между двумя точками, одна из которых недоступна. Один из таких способов изложен и иллюстрирован в учебнике итальянского автора С. Белли — «Книга об измерении». Некоторые источники предполагают, что именно этот способ применялся Фалесом Милетским для определения расстояния кораблей от берега.

В наше время данная тема достаточно хорошо освещена и разработана. Но в связи с динамичностью и преобразованиями, происходящими не только в повседневной жизни людей, но и в школьном образовании, которое все больше и больше приобретает профильную ориентацию, от учителя требуется дифференцированный подход к каждому классу.

Учитель вынужден внедрять новые методы обучения, разрабатывать эффективную методику обучения.

Итак, выше сказанное, говорит об актуальности выбранной темы, кроме того, этот материал вызывает некоторые трудности при изучении у учащихся. Проблема исследования данной работы в том, что бы обосновать, найти и разработать эффективные методы обучения по данной теме.

Объектом исследования данной дипломной работы является изучение процесса геометрии в 9 классе.

Предметом исследования — является методика изучения решения треугольников в 9 классе.

Цель исследования — совершенствование методики обучения решения треугольников с помощью: теоремы синусов, косинусов и тригонометрических соотношений, реализующих формирование соответствующих умений и навыков, а так же разработка поурочного планирования, планов-конспектов и факультативного занятия по данной теме.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучение и анализ основных теоретических положений по данной теме;

— определить методические особенности изучаемой темы;

— подбор дидактического материала;

— разработка уроков и факультативного занятия.

Решение данных задач потребовало привлечение следующих методов исследования:

— анализ научной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы, пособий и справочников по геометрии;

— ознакомление с современными публикациями и современным опытом преподавателей;

— обобщение и систематизация теоретического и практического материала по данной теме;

— Решение задач по данной теме.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что данный материал может использовать студентами педагогических Вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики, внося свои поправки и умозаключения. Для начинающих специалистов данная работа будет интересна некоторыми методическими рекомендациями

1. Технологии обучения.

1.1 О технологии модульного обучения

Диагностичное целеобразование, результативность, экономичность, алгоритмируемость, проектируемость, целостность, управляемость, корректируемость, визуализация. Диагностичное достижение цели и эффективность процесса обучения. Алгоритмируемость, проектируемость, целостность и управляемость отражают разные стороны идеи воспроизводимости педагогической технологии, её системный характер. Признак корректируемости предполагает возможность оперативной обратной связи.

Модульное обучение имеет все признаки педагогической технологии.

Модульное обучение (как развитие блочного) — такая организация процесса учения, при которой учащийся работает с учебной программой, составленной из модулей.

Применение модульного обучения не требует непременной перестройки всего учебного процесса, а введение модульных уроков можно осуществлять постепенно, сочетая имеющуюся систему с модульной. Модульное планирование позволяет лучше организовать учебный процесс: привлекать его чёткость, структурность, возможность изменения содержания модулей с учётом уровня готовности класса и индивидуальных потребностей учащихся. Модульное обучение даёт возможность реализовать идеи развивающего обучения Д. В. Эльконина, В. В. Давыдова, Л. В. Занкова, идеи проблемности, обучения укрупнёнными дидактическими единицами, использовать приём погружения и т. п.

Технология модульного обучения является одним из направлений индивидуализированного обучения, позволяющим осуществлять самообучение, регулировать не только темп работы, но и содержание учебного материала, контроль знаний тоже осуществляется индивидуально, по мере изучения учащимся темы.

Деятельность учителя, приступающего к работе по технологии модульного обучения, состоит из двух основных этапов: этап проектирования и этап реализации проекта в учебном процессе. Этап проектирования сосредоточен на конструировании технологической карты — своего рода паспорта будущего учебного процесса в данном классе, одновременно являющегося банком информации и методическим руководством по его усвоению.

Основной объект проектирования в технологии — учебная тема. Тема — модуль представляет собой законченный блок информации, где определяется комплексная дидактическая цель. Сам модуль может представлять содержание курса в трех уровнях: полном, сокращенном и углубленном. Материал в модулях подается одновременно на всех возможных кодах: рисуночном, числовом, символическом. Тема — модуль распадается на самостоятельные единицы учебной познавательной деятельности — уроки — модули с их интегрированными и частными дидактическими целями. Принцип динамичности и гибкости требует построения модулей таким образом, чтобы обеспечить свободное изменение их содержания: сокращение или дополнение учебных элементов, конструирование новых модулей с учётом возможностей и потребностей учащихся, зоной их ближайшего развития.

Еще одной единицей учебно-познавательной деятельности является обучающий модуль.

Обучающим модулем называют автономную часть учебного материала, состоящую из следующих компонентов:

— точно сформированная учебная цель (целевая программа);

— банк информации (собственно учебный материал в виде обучающих программ);

— методическое руководство по достижению целей;

— практические занятия по формированию необходимых умений;

— контрольная работа, которая строго соответствует целям, поставленным в данном модуле.

Общая система знаний и качеств личности представляется как иерархия модулей.

Система контроля и оценки учебных достижений — рейтинговая; накопление рейтинга происходит в процессе текущего, промежуточного и заключительного контроля.

Внедрение технологии модульного обучения несомненно позволяет сделать обучение личностно — ориентированным, превращает ученика из пассивного объекта обучения в активного участника образовательного процесса, способствует становлению самостоятельной, конкурентоспособной личности, повышает качество образования. Вместе с тем требует от учителя полной психологической перестройки: принятия роли учителя — консультанта, управляющего учебным процессом, а также перестройки в планировании и организации процесса образования, что особенно трудно для учителей, имеющих большой педагогический стаж. Объединение идей модулей с технологией проблемного обучения дает гибкую технологию проблемного модульного обучения (М.А. Чошанов); она разрабатывается в основном для высшей школы, но может быть применена и в средней школе. Внедрение модульной технологии требует также больших затрат времени на планирование и создание модулей, технологических карт, но это оправдывает результат.

1.2 О проблемном обучении

В качестве основы проблемного обучения предлагается следующая система дидактических принципов: научности и систематичности обучения; активности и самостоятельности, учащихся в обучении; единства образования, воспитания и развития; связи теории с практикой; проблемности; мотивации учения и труда; трудности и доступности; бинарности; единства слова и наглядности; дифференциации и индивидуализации в обучении; профессиональной направленностью. По мнению М. И. Махмутова, обучение, основанное на указанных принципах, повышает уровень научности образования, способствует формированию научного мировоззрения учащихся, развивает познавательную самостоятельность и мыслительные творческие способности обучающихся, развивает эмоционально — волевые качества личности и формирует познавательную мотивацию учащихся.

В школьной практике проблемное обучение иногда сводит к эпизодической постановке вопросов, ответы на которые вызывают затруднения учащихся, хотя и традиционное обучение не исключает рассмотрения таких вопросов. Организация проблемного обучения предполагает качественно иное взаимодействие учителя и учащихся и специфическое построение учебного материала. Последнее основывается на выделении ведущих идей курса, их развитии, роли «человеческого фактора» в этом процессе. Важнейшим моментом взаимодействия учителя и обучающихся становится организуемое и руководимое учителем самостоятельное овладение учащимися знаниями. Познание учащихся осуществляется как исследование в процессе интеллектуальной учебной деятельности.

Важнейшим элементом проблемного обучения является содержательное обобщение. Вот как следовало бы организовать изучение школьниками темы «Решение треугольников в 9 классе» в контексте проблемного обучения. Предположим, что учащиеся знакомы с понятием прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, нахождением некоторых элементов треугольника. Выполняя некоторые задания и упражнения, ребята замечают некоторые сходства и обобщения. После этого ведутся исследования всех понятий, в результате чего ребята приходят к выводу, что треугольник можно решить четырьмя способами. Учащиеся видят, что теоремы синусов и косинусов — являются обобщениями теоремы Пифагора и соотношений между сторонами и синусами углов треугольника. Затем изучаются различные свойства, следствия теорем, рассматриваются различные виды задач; рассматриваются практические применения полученных выводов.

Из существующих школьных учебников геометрии, пожалуй, в большей мере удовлетворяет требованиям проблемного обучения учебник геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова. Однако опыт его использования высветил немало трудностей в работе с этим учебником.

В методике обучения математике проблемное обучение, понимаемое в узком смысле, на уровне средней школы вполне обеспечивается эвристическим и исследовательским методами, на уровне высшей школы — методом проблемного изложения знаний и исследовательским. Содержание этих методов обучения было раскрыто ранее. Остановимся на приемах постановки проблемных ситуаций.

Под проблемной ситуацией понимают осознанное затруднение, порождаемое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи. Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемной задачей или проблемой. В методической литературе выделены требования к проблеме и пути создания проблемных ситуаций. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся, а ее формулировка — вызвать интерес, постановка проблемы должна быть естественной, проблемную ситуацию нужно готовить, она должна создаваться всем ходом урока, быть его органической частью.

В качестве путей создания проблемной ситуации видят: предварительную постановку практической проблемы; разбор возможностей использования изученного материала; поиск средств выполнения решения; решение нешаблонных задач.

Можно указать и другие пути постановки проблемных ситуаций на уроках математики. К ним относятся: постановка эксперимента; поиск метода решения задачи; использование средств наглядности; использование методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.); исторические экскурсы; проведение лабораторных и измерительных работ; использование занимательных сюжетов; составление задач по данной теме.

Проблемным называется такое обучение, при котором усвоение знаний и начальный этап формирования интеллектуальных навыков происходят в процессе относительно самостоятельного решения задач-проблем, протекающего под общим руководством учителя.

Принцип проблемности отвечая специфике продуктивного мышления — его направленности на открытие новых знаний, является основным, ведущим принципом развивающего обучения.

Проблемным называется такое обучение, при котором усвоение знаний и начальный этап формирования интеллектуальных навыков происходят в процессе относительно самостоятельного решения задач-проблем, протекающего под общим руководством учителя.

Проблемны только те задачи, решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск еще неизвестных школьнику закономерностей, способов действия, правил. Такие задачи возбуждают активную мыслительную деятельность, поддерживаемую интересом, а сделанное самими учащимися открытие приносит им эмоциональное удовлетворение и гораздо прочнее закрепляется в их памяти, чем знания преподнесенные в готовом виде. Эта активная самостоятельная мыслительная деятельность приводит к формированию новых связей, свойств личности, положительных качеств ума и тем самым — к микросдвигу в их умственном развитии.

Выбор задач для проблемного обучения, прежде всего, зависит от специфики их содержания. Материал описательного характера, подлежащий усвоению, вряд ли может служить средством проблемного обучения. Проблемными могут стать задачи на применение уже известных закономерностей в относительно новых условиях, но таких, которые предполагают более или менее значительную перестройку знакомых способов решения, выбор из многих возможных вариантов наиболее рационального способа действия, применение общих теоретических положений, принципов решений в реальных практических условиях, требующих внесения в них конструктивных изменений, и т. д.

Наибольший эффект при проблемном обучении дают задачи, предполагающие открытие новых для учащихся причинно-следственных связей, закономерностей, общих признаков решения целого класса задач, в основе которых лежат еще не известные субъекту отношения между определенными компонентами исследуемых конкретных ситуаций.

Выбор задачи-проблемы зависит и от наличия у школьников исходного минимума знаний или возможности за относительно короткий срок до постановки проблемы ознакомить учащихся с необходимыми для самостоятельного решения сведениями. Вместе с тем надо помнить, что эти знания должны служить опорой для поисков пути решения, а не наводить, не подсказывать этот путь, иначе задача перестанет быть проблемной.

Степень сложности задачи, зависит и от уровня самостоятельности при постановке и решении проблемы. Наименьшая самостоятельность требуется от учащихся тогда, когда преподаватель сам ставит проблему и намечает основные вехи для ее решения, включая школьников лишь в отдельные звенья рассуждения, приводящего к определению искомого. Обычно так идет урок проблемного типа на начальном этапе работы над принципиально новым для школьников разделом программы, когда базис для решения такого рода проблем у них еще очень мал. Поставив проблему, учитель должен дать школьникам самим попытаться ее решить на основе имеющихся знаний и убедиться, что этих знаний для достижения цели явно недостает, а затем принять участие в построении доступных для них звеньев рассуждения, приводящих к новому знанию.

По мере накопления исходных знаний степень самостоятельности поисков решения должна нарастать. Учитель, поставив проблему, предоставляет школьникам самим искать путь ее решения, давая теперь лишь самые общие указания о направлении поиска. Далее он только ставит проблему и ограничивается критикой ложных ходов мысли при попытках школьников найти решение. Наконец, когда у школьников в изучаемой области накопились необходимые знания и навыки, следует предоставить им возможность самим увидеть в предполагаемых исходных ситуациях новую для себя проблему, сформулировать ее и найти способ решения, а педагог лишь в крайнем случае, если сами учащиеся в рассуждениях зашли в тупик, оказывает им минимальную помощь, намекая, как можно выйти из него.

Таковы некоторые более внешние, поддающиеся объективной оценке условия, определяющие проблемность задач. Однако следует особо подчеркнуть, что даже полностью отвечающая указанным условиям задача может не стать для школьников проблемной, если при ознакомлении с ней учителю не удастся создать у них проблемной ситуации. Проблемная ситуация отражает субъективное принятие задачи, реальное участие каждого школьника (хотя бы мысленно) в процессе ее решения. Важно, чтобы ученик сам задумался над сформулированной в классе проблемой, сам себе задал тот же вопрос и попытался дать на него ответ.

Наиболее эффективное средства для создания у школьников проблемных ситуаций — использование противоречий, конфликта между усвоенными знаниями, знакомыми способами решения определенного класса задач и теми требованиями, которые предъявляет новая задача; школьники должны убедиться в том, что решение задач на основе уже имеющихся знаний приводит к ошибкам. Учитель сознательно заостряет конфликт, подчеркивает возникающее противоречие, стимулирует попытки найти выход из создавшегося положения, разрешить противоречие.

Проблемные ситуации у школьников могут быть созданы тем, что в задачах с недостающими и избыточными данными им будет предложено найти ряд возможных вариантов решения и обоснованно выбрать наиболее эффективный; часть данных в них определяется по таблицам, на основе дополнительных измерений и т. д. Решение таких задач приближает школьное обучение к жизненной практике, повышает действенность знаний, поскольку последние приобретены в процессе более или менее самостоятельной активной мыслительной деятельности.

Конфликтные ситуации, используемые в проблемном обучении, как бы наталкивают учащихся на ошибки. Это противоречит долгое время господствовавшему в методической литературе положению о необходимости оберегать школьников от ошибок. В проблемном обучении при создании конфликтных ситуаций обычно используется материал, в основе усвоения которого лежит углубленное понимание основных отношений между его существенными признаками, закономерностей, общих принципов решения целого класса задач и т. д. Задачи-проблемы ставят ученика в условия неопределенности, и возникновение здесь ошибок вполне возможно. Такие ошибки не страшны, если преподаватель обратит на них внимание школьников и добьется понимания тех причин, которые породили ошибки, и способов их преодоления.

Возникнет ли в условиях обучения у того или иного учащегося проблемная ситуация, обратиться ли он для ее решения к наиболее эффективному приему продуктивного мышления — анализ через синтез или же к механической манипуляции данными — зависит не только от объективных факторов, но и от факторов субъективных, и прежде всего — от умственного развития школьников. Поскольку школьники одного и того же возраста имеют весьма существенные различия в достигнутом ими уровне умственного развития, полная реализация принципа проблемности не может быть осуществлена без индивидуализации обучения.

2. Анализ методических особенностей изложения темы: «Решение треугольников в 9 классе» в различных действующих учебниках по геометрии

В процессе обучения геометрии используются разнообразные методы обучения. Они должны составлять единый комплекс, основой которого являются учебники по геометрии. Все остальные средства обучения, предназначены для лучшего усвоения школьного курса геометрии, они должны быть тесно связаны с учебником, разъяснять и развивать идеи учебника, служить общим (с учебником) целями формирования у учащихся прочных, стойких и пластичных математических знаний, умений и навыков.

Анализ предъявляемых к учебнику по геометрии требований приводит к выводу о том, что эта книга не имеет определенного адресата (ученика или учителя).

Прежде всего, она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчитаны непосредственно на ученика соответствующего возраста.

Различные учебники по геометрии отвечают различным требованиям и, как правило, в большей или меньшей мере удовлетворяют запросам учеников и учителей.

Нечеткость расплывчатость представлений о решениях треугольников не редко обретают ученика на полное непонимание данной темы. Желательно при изучении темы «Решение треугольников в 9 классе», использовать модели треугольников, плакаты и различные памятки.

Авторы учебников. Зная об этих трудностях, каждый по своему избирает, как ему представляется наилучший подход к изучению темы «Решение треугольников в 9 классе».

Если мы рассмотрим учебник Погорелова А. В. «Геометрия 7−11» -пособие для учащихся, то увидим, что данное пособие можно использовать после хорошо проведенного учителем урока, так как в нем полностью отсутствует методический аппарат (детальные объяснения, переходы и их обоснование, иллюстрация и многое другое). Поэтому данный учебник не самый лучший для изучения моей темы.

Учебник Смирнов В. А., Смирнова И. М. «Геометрия 7−9» — следует традициям преподавания геометрии в школе, заложенном ещё в учебнике Киселева А. П., и соответствует программе. Авторы придерживаются аксиоматического подхода к построению геометрии. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Приведенная в учебнике система аксиом несколько избыточна. Данная избыточность позволяет упростить некоторые доказательства. Помимо разделов планиметрии в качестве дополнительного в учебник включены научно-популярный материал: графы, теорема Эйлера, золотое сечение, задачи оптимизации и другие. Данный учебник тоже не подходит для моей темы, так как он является сложным для самостоятельного изучения материала учеником.

Рассмотрим теперь учебник «Геометрия 7−9» Шарыгин И. Ф. Данный учебник привлекает многих учителей новизной идей, свежестью и оригинальностью решения некоторых теоретических проблем. В данном учебнике на начальном этапе изучения геометрии акцент делается на наглядно-образной составляющей и только по мере развития геометрического мышления возрастает значение его логического мышления, поэтому необходима хорошая пропедевтика в 5−6 классах. И в качестве неё выступает начальный курс в системе школьного геометрического образования — оригинальный курс «Наглядная геометрия». Здесь учащимся сообщается определенный объём геометрических знаний, они вооружаются геометрическим методом познания мира.

В данном учебнике главной задачей является задача развития интереса. Система задач, в курсе удачно реализует идею уровневой дифференциации. Для этого введены обозначения «В"-важная, «Т"-трудная задача.

Главной особенностью рассматриваемого учебника является тот факт, что в учебнике не только выстаивается теория, но и изучаются методы решения геометрических задач, причем последнее является важнейшей целью обучения геометрии. На фоне содержательных задач показываются основные, подходы, приёмы, идеи, которые могли быть использованы при решении геометрических задач. Данный учебник имеет много преимуществ, но они не всегда могут быть реализованы, из-за нехватки времени, отведенного на изучение геометрии в 9 классе.

Все перечисленные учебники хороши, но для изучения данной темы необходим ходовой учебник. Примером такого учебника, наиболее полно отвечающего потребностям ученика и методическим особенностям изложения темы: «Решение треугольников в 9 классе» может быть названа книга Атанасян Л. С. и др. «Геометрия 7−9». Теоретический материал учебника изложен достаточно интересно с учетом психологических особенностей школьников. Книга разбита на 13 глав, имеет 3 приложения и снабжена более чем 1000 разнообразных задач, разного уровня сложности. В учебнике много оригинальных приемов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно строгим. Объяснительный текст разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать то или иное свойство данной темы. После изучения каждой теоремы, каждого вида треугольника, его свойств, примыкает соответствующая группа упражнений. Изложение материала дается в такой форме, которая полностью соответствует его подаче на уроке. В ряде случаев теоретическим сведениям предпосылаются упражнения, вводные задачи, вспомогательные вопросы.

Система задач позволяет развить интерес учащихся к математике с учетом их математической подготовки. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи. Система упражнений, обеспечивает процесс формирования понятий, о рассматриваем треугольнике, выработку умений и навыков, овладение математическим языком, развитие логического мышления. Все это значительной степени помогает учителю организовать учебный процесс на уроке. Такая структура учебника по данной теме удобна для ученика, этот учебник нетрудно читать дома, поэтому данный учебник, я считаю, лучшим для моей темы.

3. Примерное тематическое планирование

В соответствии с тематическим планированием учебного материала, на изучение темы «Решение треугольников в 9 классе» рекомендуется отвести 11 часов. Предлагаю следующие распределения часов по данной теме:

§ 1. Синус, косинус и тангенс острого угла 2часа

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 6часов Обобщающий урок 1час Урокфакультатив 1час Контрольная работа 1час Учебник Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и другие.

«Геометрия 7- 9»

М.: Просвещение, 2001; 335с.

Примерное почасовое планирование

(2 часа в неделю, всего 10 часов)

4. Методические рекомендации к изучению темы

4.1 Синус, косинус, тангенс угла

В этой главе введены понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0є до 180є, доказаны теоремы синусов и косинусов. Основные значение главы развить тригонометрический аппарат, как средство решения геометрических задач, а так же показать, как применяется при решении задач данные теоремы.

Назначение параграфа «Синус, косинус и тангенс угла» в том, чтобы ввести понятие синуса, косинуса и тангенса угла, от 0є до 180є и вывести формулы для вычисления координат точки, которые будут использованы в следующем параграфе при доказательстве теорем о площади треугольника и теореме косинусов.

В начале полезно проверить, насколько усвоены учащимися понятия синуса, косинуса и тангенса для острого угла прямоугольного треугольника, введенные в 8 классе. Это рекомендуется сделать с помощью математического диктанта (см. Приложение), который рассчитан на 7 — 10 минут.

Затем можно приступить к изучению параграфа. Данный материал предполагает учащимся изучить самостоятельно. Данный метод учит учащихся работать самостоятельно с литературой, выделять главное в прочитанном, что немало важно. Для облегчения работы учащимся, рекомендуется на доске написать следующий план:

1. Прочитайте пункт 93 и 94. Ответьте на вопросы 1 — 5 (см.Приложение);

2. Составьте конспект прочитанного материала;

3. Решите задачу 2 (для точек А, В, М₁, М₂), 3(б), 4(а) и 5(г);

Если самостоятельное конспектирование вызвало затруднения, то в ходе беседы, с обучающимися, можно изложить данный материал. Опираясь на то, что учащиеся уже знают понятия косинуса, синуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника и на основе теоремы Пифагора доказано основное тригонометрическое тождество. Для наилучшего усвоения нового материла полезно рассмотреть задачи.

На втором уроке целесообразно обсудить с учащимися задачу 1, а затем решить следующую задачу. Используя единичную окружность, постройте угол:

а) косинус которого равен ;

б) синус которого равен .

Для решения данной задачи необходимо заранее заготовить на доске несколько полуокружностей.

Так же можно предложить учащимся доказать, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами. Полезно было бы начать урок с фронтального повторения теоретического материала по Плакат 1. «Тригонометрические функции» (см. Приложение).

После этого рекомендуется учащимся объяснить пункт 95, для закрепления прорешать задачи 1016, 1018 (в), 1019 (в), а в оставшееся время необходимо провести самостоятельную работу контролирующего характера:

Вариант 1: 5 (а), 7 (б), 8 (а), 9 (а).

Вариант 2: 5 (г), 7 (а), 8 (д), 9 (г).

Для домашнего изучения темы предлагается повторить пункт 93 — 95, а так же вопросы 1 — 6 (см. Приложение 5), задачи 2 (для точек М₂ и М₃), 3 (а, б), 4 (а, Б), 5 (в), 7 (а, б), 8 (б), 9 (б).

В результате проведенных уроков учащиеся должны знать, как вводится синус, косинус, тангенс для углов от 0є до 180є, уметь доказывать основное тригонометрическое тождество, знать формулы для вычисления координат точки, уметь решать задачи.

4.2 Методические рекомендации к теореме о площади треугольника

На уроке пред доказательством теоремы необходимо, полезно повторить известные учащимся формулы для вычисления площади прямоугольного и произвольного треугольника. Для этой цели рекомендуется подготовить плакат, с изображением этих формул (см. Приложение 1), заранее дать задание учащимся повторить этот материал. Данное пособие поможет ребятам лучше запомнить и вспомнить формулы площадей. Кроме того, следует повторить с учащимися формулы для вычисления координат точки с положительной ординатой.

Доказательство теоремы не является сложным, поэтому рекомендуется провести его, вместе с обучающимися. Необходимо чтобы обучающиеся осознали, что новая формула площади треугольника справедлива для любого треугольника. Необходимо проследить, чтобы учащиеся в своих тетрадях сделали запись, но она должна быть только после того, когда все уже доказано и обсуждено классом. Учитель должен пресекать попытки учащихся одновременно делать запись и участвовать в обсуждении. Данная запись пригодится при доказательстве теоремы синусов. Так же для обрабатывания навыков, в использовании теоремы о площади треугольника рекомендуется прорешивать задачи, не только данные в учебнике, но и расположенные на плакате.

4.3 Теорема синусов

В начале данного урока рекомендуется провести математический диктант, обучающего характера, на 10 минут (см. Приложение).

Проверку данного математического диктанта рекомендуется провести в классе, ошибки, допущенные в результате вычисления необходимо разобрать, и устранить причины их появлений. Данная работа соберет внимание учеников, и подготовит их к дальнейшей работе.

Для дальнейшей работы будет целесообразно, чтобы учащиеся повторили формулы для вычисления площади треугольника. Это можно сделать и с помощью опроса, мы вызываем ученика к доске, с целью доказательства теоремы выученной на прошлом уроке. А класс должен следить за верностью доказательства теоремы, после этого повторения ребята полностью готовы к восприятию нового материала. Для доказательства теоремы желательно иметь рисунок с принятыми в доказательстве обозначениями сторон и противолежащих им углов. В дальнейшем учителю необходимо добиваться, чтобы учащиеся умели оперировать любыми обозначениями сторон и углов треугольника.

Полезно так же перед учащимися создавать проблемную ситуацию, предложив устно решить задачу по плакату: Верно ли для треугольника ABC (рис.1) равенство

= ?

После того, как учащиеся убедились, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника? Ответ на этот вопрос мы получим, если докажем теорему, которая называется теоремой синусов» .

Необходимо обратить внимание учащихся, на то, что данную теорему можно записать и в другом виде: a: b: c = sinA: sinB: sinC. Данную задачу можно рассмотреть с учениками устно.

При изучении данной темы необходимо использовать наглядность — это позволит ученикам лучше запомнить данный материал. Так же можно использовать плакаты с изображением устных задач на применение теоремы синусов. Будет лучше если при решении задач, мы построим наглядные чертежи, что дает ребятам представление об условиях задачи. А для закрепления пройденного материала, лучше всего прорешать задачи. Необходимо так же следить за работой и записями ребят, не допускать одновременных действий в обсуждении материала и его записи.

4.4 Теорема косинусов

Для доказательства теоремы косинусов необходимо повторить формулы для вычисления координат точки и формулу для вычисления координат точки и формулу для вычисления расстояния между двумя точками: d²= (x¹ — x²)²+ (y¹ — y²)². Это позволит учителю привлечь учащихся к самостоятельному доказательству теоремы. Для чего на доске выписать план доказательства теоремы:

1. Запишите формулу расстояния между точками M₁(x₁;y₁) и M₂ (x₂;y₂).

2. Пользуясь учебником (рис. 293.), объясните почему координаты точек В и С имеют такие значения, как указано на этом рисунке.

3. Выпишите координаты точек В и С (рис. 293.) и найдите расстояние между этими точками. Упростите полученное выражение.

4. Убедитесь в правильном решении, прочитав п. 98 по учебнику.

Так же рекомендуется, чтобы обучающиеся сами выразили из формулы теоремы косинусов, косинусы углов, то есть cosA, cosB и cosC через a, b, c и следовательно сделать выводы, что зная стороны треугольника, можно найти его углы:

.

Необходимо заметить, что данные формулы необязательно запоминать, так как их легко вывести, зная теорему косинусов. Так же необходимо сделать замечание, что теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора. А в конце урока, рекомендуется провести самостоятельную работу контролирующего характера.

4.5 Решение треугольников

обучение треугольник синус учебный На уроках по теме: «Решение треугольников», ставится вопрос о том, как, зная один из основных элементов треугольника, найти другие. Очень важно, чтобы учащиеся поняли, что теоремы синусов, косинусов, а так же теорема о сумме углов треугольника позволяют найти все шесть элементов произвольного треугольника по каким то трем данным его элементам, из которых, по крайней мере, один линейный, или, как говорят решить треугольник. Мы будем рассматривать три случая решения произвольных треугольников: 1) по двум сторонам и углу между ними; по стороне и углу между ними; 3) по трем сторонам.

Не рассматривается случай (как показывает опыт, самый трудный для учащихся) решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. В зависимости от контингента учащихся учитель сам решает, рассматривать ли в общем, виде этот случай решения треугольников или ограничиться конкретными задачами, приведенными в учебнике. Решение в общем, виде, первых трех задач целесообразно разобрать по учебнику, а четвертый случай можно рассмотреть на факультативе или, если останется время.

При изучении данной темы учениками, полезно с ними сделать «памятку» для решения трех основных задач (см. Приложение). При наличии времени желательно рассмотреть и четвертый случай. Целью такой памятки является формирование у учащихся умений для каждой из основных типов задач на решение треугольников в общем виде и для конкретных треугольников.

Перед рассмотрением темы: «Решение треугольников» следует задать на дом вопросы для повторения: решение прямоугольных треугольников и построение треугольников. Подводя итоги повторения, полезно обратить внимание учащихся на то, что равенство треугольников определяется тремя равными элементами, взятыми в определенной конфигурации, треугольник можно построить так же по трем заданным элементам.

Теперь попробуем выяснить с учениками, можно ли по трем данным элементам треугольника найти остальные элементы треугольника, то есть решить треугольник.

В ходе работы по данной теме полезно пользоваться «памяткой». Задачи на решение треугольников, рассматриваемые здесь, довольно часто являются фрагментами решения более содержательных и интересных задач. Поэтому умение решать эти задачи является программным требованием к знаниям учащихся. Единственность решения каждой задачи вытекает из соответствующего признака равенства треугольников.

Задача 1: Найдите все элементы треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Приступая к решению задачи, следует заметить, что два треугольника с заданными двумя сторонами и углами между ними будут равны по первому признаку равенства треугольников. А это означает, что при решении треугольника по двум сторонам и углу между ними значения для третей стороны и остальных двух углов имеют единственные значения, то есть решение единственное.

При рассмотрении задачи полезно обратить внимание учащихся на два возможных способа нахождения углов треугольника. В то время, как длина стороны c однозначно определяется с помощью теоремы косинусов, для определения углов треугольника можно применить и теорему косинусов (I способ), и теорему синусов (II способ). Оба способа обладают рядом достоинств и недостатков. Заметим, что при использовании I способа угол определяется однозначно по знаку косинуса, но вычисления весьма громоздкие. При использовании II способа терема синусов дает возможность довольно просто вычислить синус любого из этих углов. Однако значения синуса определяют два угла: острый и тупой. Следовательно, необходимо воспользоваться теоремой о соотношении сторон и углов треугольника.

Разберем возможные случаи.

1. Если сторона с — наибольшая, то углы и — острые,

2. Если сторона с — не наибольшая, то сначала находим угол, лежащий против меньшей из сторон, а и b, следовательно, он является острым. Третий угол находится из равенства + + = 180.

Задача 2: Найти все элементы треугольника по стороне и прилежащей к ней углам.

С этой задачей учащиеся фактически уже имели дело при изучении теоремы синусов. Полезно будет обратить внимание на то, что любые два треугольника, построенные по этим данным, будут равны по второму признаку, то есть решение единственное

Задача 3: Найти все элементы треугольника по трем сторонам.

При рассмотрении такой задачи, как и в случаи задачи1, полезно обратить внимание учащихся на два возможных способа нахождения углов треугольника. В то время, как градусная мера наибольшего угла однозначно определяется с помощью теоремы косинусов, для определения одного из двух других углов треугольника можно применить и теорему косинусов (I способ) и теорему синусов (II способ). Поскольку сначала определяется наибольший угол, то два других будут заведомо острыми. Третий угол находится из равенства + + = 180. Следует заметить, что как и задача1, и 2, задача нахождения углов треугольника по трем данным сторонам имеет единственное решение в силу третьего признака равенства треугольников.

Задача 4: Найти все элементы треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Рассмотрение данной задачи не обязательно на уроке.

Данные уроки я предлагаю связать с пунктом «Измерительные работы». Рекомендуется давать их вместе, так как ребята увидит связь практики и теории. Они научатся на практике применять полученные знания, видеть треугольники и находить неизвестные элементы.

4.6 Решение треугольников по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них

При изучении темы «Решение треугольников» нам поставили дополнительный урок, или осталось время, то с учащимися можно разобрать четвертый случай решения треугольников, но рекомендуется его провести как урок — факультатив. Данный случай является наиболее сложным для изучения, поэтому его рассматривают только по усмотрению учителя. Да, если класс сильный то рекомендуется рассмотреть его на уроке или на дополнительных занятиях, если класс слабый то рекомендуется дать в общем виде. Для изучения этой темы необходимо изготовить плакат (см. Приложение1). Использование плаката в данном случаи наиболее целесообразно, поскольку из него хорошо видно, в каком случае задача имеет два решения, а в каком одно решение, а в каком случае решения нет.

Задача 4. Найдите все элементы треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Рекомендуется рассмотреть три случая:

1 случай: Если, то решений нет;

2 случай: Если, то = 90, решение единственное = 90 —, c = b cos;

3 случай: Если и:

а) b > a, то имеем два решения: существуют два угла ₁ и ₂ (острый и тупой), синусы которых равны;

б) b = a, то решение единственное и угол — острый, так как углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми;

в) b < a, то решение единственное — угол может быть только острым, так как против большей стороны лежит больший угол, то .

Необходимо сделать заметку, что эту задачу можно решить иным способом. С помощью теоремы косинусов найти наибольший угол, воспользовавшись теоремой синусов, найти любой другой угол (он заведомо будет острым); третий угол находится из равенства + + = 180. Данный случай рекомендуется дать сильным ученикам в качестве домашнего задания.

Если в условии задачи на решение треугольников требуется найти угол, то вполне достаточно определить одну из его тригонометрических функций, так как умение пользоваться таблицами и микрокалькулятором для нахождения тригонометрических функций угла и наоборот, нахождение угла по заданной одной из его тригонометрических функций, не является программным. Если учитель сочтет нужным, то можно объяснить учащимся, как пользоваться таблицами и микрокалькулятором. Но есть значения тригонометрических функций, которые учащиеся должны знать — это углы 30, 45, 60, 90, 135 и 150. И предлагается следующие виды уроков.

5. Планы — конспекты уроков

5.1 Урок 1: Синус, косинус, тангенс. Основное тригонометрическое тождество

Цели урока:

образовательная: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° и закрепить их знание в ходе решения задач;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

I. Организационный момент (2мин).

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Повторение ранее изученного материала (5 мин).

Учитель: Ребята, что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ученик 1: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Ученик 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Ученик 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: Какое равенство мы называем основным тригонометрическим тождеством?

Ученик: Равенство вида sin²A+cos²A=1 — называют основным тригонометрическим тождеством.

Учитель: Чему равно значение синуса, косинуса и тангенса для угла 30°

Ученик: .

Учитель: Чему равно значение синуса, косинуса и тангенса для угла 45°

Ученик: .

Учитель: Чему равно значение синуса, косинуса и тангенса для угла 60°

Ученик: .

III. Изучение нового материала (15 мин).

Учитель: Ребята, введем понятие единичной полуокружности. Как нам это сделать?

Ученик 1: Сначала, нам надо ввести прямоугольную систему координат Oxy. Построим полуокружность радиуса 1, с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах, её мы и назовем единичной полуокружностью.

Учитель: Да, это верно. А теперь, давайте рассмотрим понятие синуса и косинуса для углов 0° < а < 180°?

Ученик: Для этого нам надо, из точки О мы проведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке М (х; у). Обозначим буквой угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс.

Учитель: А что делать, если луч совпал с положительной полуосью абсцисс?

Ученик: Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что = 0°.

Учитель: А если угол — острый?

Ученик: Если угол острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем:

.

Но по рисунку мы видим, что ОМ=1, MD=y, OD=x, поэтому sin=y, cos=x. (1)

Учитель: Что мы можем сказать о синусе, косинусе острого угла .

Ученик: Синус острого угла равен ординате у точки М, а косинус угла — абсциссе х точки М.

Учитель: Давайте, рассмотрим случай, когда угол — тупой, развернутый или прямой?

Ученик: Если угол прямой, тупой или развернутый (углы АО С, AON и АО В на рисунке) или =0°, то синус и косинус угла также определим по формулам (1).

Учитель: Итак, подведем итог всему выше сказанному. Что называется синусом угла? А косинусом угла ?

Ученик 1: Для любого угла из промежутка 0°180°, синусом угла называется ордината у точки М.

Ученик 2: Косинусом угла, из промежутка 0°180°, называется абсцисса х точки М.

Учитель: А что, мы можем сказать о значении синуса и косинуса угла ?

Ученик: Так как координаты (х;у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 01, -11 то для любого из промежутка 0°180°, справедливы неравенства:

01, -11.

Учитель: Как нам найти значение синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°.

Ученик 1: Для этого рассмотрим лучи ОА, ОС и ОВ, соответствующие этим углам (см. рис.).

Ученик 2: Нам надо найти координаты точек А, С и В. Они имеют координаты, А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), тогда sin0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° =0, cos 180°= -1. (2)

Учитель: Мы нашли синус и косинус. А как нам найти тангенс?

Ученик: Тангенсом угла называется отношение, то есть

. (3)

Учитель: При всех ли возможных углах будет существовать тангенс угла ?

Ученик: При = 90° tg не определен, поскольку cos 90° = 0 и в формуле знаменатель обращается в нуль.

Учитель: Найдите значение тангенса для углов 0 и 180?

Ученик: Используя формулы (2), мы можем найти значение tg 0° = 0, tg 180°=0.

Учитель: Ребята, давайте вывести основное тригонометрическое тождество, используя рисунок. Что нам для этого надо?

Ученик 1: Нам надо изобразить систему координат Оху и единичная полуокружность АСВ с центром О.

Учитель: Что мы можем сказать об этой полуокружности?

Ученик 2: Эта полуокружность является дугой окружности, и её можно задать с помощью уравнения которое имеет вид х²+у²=1.

Ученик 3: А, подставив сюда выражения для х и у из формул (1), получим равенство

sin² a + cos² a= 1, (4)

Учитель: Что мы можем сказать о полученном равенстве?

Ученик: Данное равенство выполняется для любого из промежутка 0°180°.

Учитель: Встречались ли вы, с чем нибуть подобным ранее?

Ученик: Да, это равенство называется основным тригонометрическим тождеством. И встречались мы с ним в VIII классе, но оно было доказано нами для острых углов.