Анализ теории помехоустойчивого кодирования

С помощью регистра сдвига с обратными связями, осуществляющего последовательное деление степеней х, отождествляемого примитивному элементу α поля GF (24), начиная от х0 до х6, на порождающий многочлен (Рисунок 3).Рисунок 3 — Схема деления на многочлен

Проверочная матрица Н должна содержать 15 столбцов (длина кодового слова n) и 4 строки (количество проверочных символов r). Следовательно, для того, чтобы определить все 15 столбцов, нужно выполнить 15 сдвигов вправо «единицы», которая записывается первым тактовым импульсом в крайнюю левую ячейку регистра, соответствующую х0. Последовательность сдвигов представлена на рисунке 4.1 такт2 такт3 такт4 такт5 такт6 такт7 такт8 такт9 такт10 такт11 такт12 такт13 такт14 такт15 такт

Рисунок 4 — Содержимое регистров

В итоге мы получим 15тетрад двоичных символов, которые соответствуют 15 столбцам матрицы Н. Для того, чтобы записать матрицу Н в канонической форме, группы символов следует расположить следующим образом:

1000 — 15-й столбец0100 — 14-й столбец0010 — 13-й столбец0001 — 12-й столбец1100 — 11-й столбец0110 — 10-й столбец0011 — 9-й столбец1101 — 8-й столбец1010 — 7-й столбец0101 — 6-й столбец1110 — 5-й столбец0111 — 4-й столбец1111 — 3-й столбец1011 — 2-й столбец1101 — 1-й столбец

В результате матрица Н будет иметь вид3. Для того, чтобы найти порождающую матрицу G, запишем матрицу Н в виде системы уравнений проверки на четность:

4. Для того, чтобы найти матрицы синдромов, воспользуемся системой уравнений. Синдром — это результат проверки выполнения уравнения этой системы, т. е.Если в принятом кодовом слове ошибок нет, то все синдромы будут равны 0, и матрица синдромов S будет выглядеть так:

5. Схема кодера Хэмминга [15,11] будет выглядеть, как показано на рисунке5, где каждый из четырех сумматоров по модулю 2 выполняет операцию, соответствующую одному из четырех уравнений системы:

Схема декодера Хэмминга [15,11] будет выглядеть, как показано на рисунке 6, где каждый из четырех сумматоров по модулю 2 выполняет операцию соответствующую одному из четырех уравнений системы (5). Корректирующая схема, показанная на рисунке 7, содержит четыре трехвходовые схемы «И» (&), на входы которых подаются наборы синдромов, соответствующие матрицам синдромов Sa1, Sa2, Sa3 и Sa4, и формирует «1» на том выходе, который соответствует символу, в котором зарегистрирована ошибка, и который требуется исправить путем простого инвертирования. Рисунок 5 — Схема кодера Рисунок 6 — Схема декодера

Рисунок 7 — Корректирующая схема

Рисунок 8 — Временные диаграммы работы декодера кода [15.11]6. Вероятность ошибочного декодирования рассчитывается по формуле, где р — вероятность ошибки в канале, а — число картин ошибок кратности iв кодовом слове из nсимволов. Для заданного кода длины n = 15, исправляющего одну ошибку, α0 = 1, α1 = 15. При заданной вероятности ошибки в канале р = 10−5, вероятность ошибки Рош декодирования составит:

Рош = 1 — (1 — р)15- 15р (1 — р)14 = 1 — 0,9985 — 0,149 = 0,1 =10. Таким образом, в результате применения кода Хэмминга, исправляющего одну ошибку, вероятность появления ошибки в принятых данных уменьшилась на один порядок. Заключение

В курсовом проекте произведена оценка помехоустойчивого кодирования с использованием кода Хемминга. В ходе выполнения работы были рассчитаны параметры заданного кода и разработаны структурные схемы кодера и декодера для реализации данного метода кодирования. Также был изучен и проработан материал по линейным кодам и их применению для кодирования и восстановления информации.

Список литературы

1. Запись аудио-и видеосигналов: учебник для вузов / под ред. проф. Ковалгина Ю. А. -М.: Издат. Центр «Академия», 2010.- 512 с. 2. Никамин В. А. Стандарты и системы цифровой звукозаписи:

метод. указ. к выполнению практических работ (спец. 201 400) — Спб.: ГОУВПО СПбГУТ СПб, 2009. -56 с.