Проблема обоснования математического знания в аналитической философии: Ист.-филос. 
аспект

Актуальность темы

исследования.

Аналитическая традиция, сформировавшаяся в XX столетии, представляет собой одно из наиболее крупных направлений современной философской мысли. Предметное поле исследований этого течения включает в себя широкий круг проблем, в том числе и проблем, относящихся к различным вопросам онтологии, гносеологии, методологии и философии науки. Благодаря этому аналитическая традиция выступает в роли одной из основных областей, связывающих философское знание с точными науками.

Проблема обоснования человеческого знания, являющаяся важнейшей проблемой аналитической философии, остается актуальной и разрабатываемой практически на протяжении всего исторического развития философской мысли. Но в последнее время эта проблема приобретает особую остроту. Это обусловлено несколькими факторами.

Во-первых, развитие аналитической философии (а также и других направлений двадцатого века) вносит ряд новых положений и предлагает качественно новый подход к философской проблематике (это и рассмотрение философских проблем как проблем языка, и отождествление науки и философии. и многое другое). Это вызывает необходимость пересмотра многих устоявшихся догм философского знания и служит причиной оживленной полемики как внутри аналитической традиции, так и внешней, среди мыслителей различных направлений.

Во-вторых, научно-технический прогресс необходимым образом приводит к выделению новой области исследований — философии науки, в которой проблема обоснования знания обладает своей спецификой.

И наконец, благодаря интенсивной разработке философско-математических проблем, которая происходит в конце XIX — начале XX веков, образуется так называемая область «оснований математики», представляющая собой смешанное поле деятельности философов и математиков и вносящая в проблематику обоснования человеческого знания обособленный круг вопросов.

Последнее положение тем более важно, что в начале нашего столетия назревает кризис оснований, причиной которого послужили многочисленные парадоксы теории множеств. Различные подходы к преодолению этого кризиса приводят к образованию направлений (логицистского, формалистского и интуиционистского), идеи которых ложатся в основу аналитического и конструктивного понимания философии.

Актуальность проблемы обоснования математического знания, представляющей собой составную часть проблематики обоснования знания вообще и обоснования научного знания в частности, возрастает в наш век как никогда ранее. Компьютеризация общества, развитие физики, кибернетики и других наук в настоящее время выводят человечество на новую ступень развития. Математика же, являясь образцом точной науки, в то же время служит универсальным аппаратом исследования для всего естественнонаучного знания. Поэтому ее объекты, язык и методология, универсальная применимость и необходимость ее положений служат предметом пристального внимания философов современности.

Аналитическая же традиция вносит в область философско-математических исследований важнейший вклад, выражающийся в разработке нового подхода к проблемам оснований и реализации идей мыслителей Нового Времени. Это послужило толчком к развитию многих областей математического и философского знания.

В свете вышеизложенного данная работа посвящается историко-философскому анализу именно аналитического подхода к проблеме обоснования математики.

Говоря о разработанности проблематики обоснования математического знания, и в частности о разработанности проблемы обоснования математического знания в аналитической философии (которая и является темой данного исследования), необходимо выявить целый ряд положений.

Тематика данной работы связана с вопросами философии и методологии научного знания, исследуемыми в трудах таких отечественных и зарубежных авторов, как Хинтикка Я., фон Вригт Г., Кун Т., Лакатос И., Фейера-бенд П., Асмус В. Ф., Рузавин Г. И., Микешина Л. А., Кочергин А. Н., Смирнова Е. Д., Мануйлов В. Т., Печенкин A.A., Сокулер З. А., Куайн У., Ньютон-Смит В., Гайденко П. П., Яновская С. А., Степин B.C. и др.

Историко-философский характер работы связывает данную тему с исследованиями философского наследия отдельных мыслителей Нового Времени. Это труды Катасонова В. Н., посвященные вопросам философии математики в концепциях Декарта и Лейбница, Быховского Б. Э., который исследует философскую концепцию Дж. Беркли, Соколова В. В., Ягодинского И. И., Юшкевича А. П., Умова H.A., Майорова Г. Г., Танхилевич О. М., Михаленко Ю. П., Гетмановой А. Д., Ойзермана Т. И. и др.

Тема диссертации также связана с исследованиями аналитической традиции XX столетия, которая является предметом изучения таких отечественных авторов, как Боброва Л. А., в трудах которой разрабатываются подходы к определению аналитической философии, изучаются различные периоды ее становления и дальнейшие пути развитияПанов М.И., который исследует аналитический подход к философии и методологии математики и пути гуманитаризации математического знанияПанченко А.И., исследующий основные тенденции современной аналитической философииГрязнов А.Ф., некоторые работы которого относятся к исследованию позиции аналитиков (Витгенштейна) по философско-математическим вопросамКозлова М.С., исследующая идею «языковых игр», и другие.

Исследование интересующих нас проблем, связанных с темой диссертации, предполагает анализ концепций отдельных представителей аналитической философии и представителей области оснований математического знания. В этом плане прежде всего необходимо отметить таких авторов, как Сокулер З. А., изучающая философско-математические разработки зарубежных мыслителей (Витгенштейна, Поппера и др.) — Мадер В. В., который детально излагает и анализирует логико-арифметическую концепцию Г. ФрегеБирюков Б.В., также исследующий позицию ФрегеМикешина JI.A., в трудах которой анализируются важные аспекты идей позднего ВитгенштейнаКозлова М.С.- Рузавин Г. И., Нарский И. С., с его исследованиями позиции РасселаУспенский В.А., излагающий теорему Геделя о неполноте и предлагающий ее альтернативное доказательство,* Колядко В. И., исследующий философское наследие Б. БольцаноКузьмичева A.A., в работах которой дается критический анализ лингвистической доктрины логической и математической истины Р. КарнапаМакаркина С.Б., исследующая теорию определений Г. ФрегеКутыркин А.Б., Захаров В. Д., Коломейцев А. Е., Бибихин В. В., Самохвалов К. Ф., Панченко K.M., Панченко А. И., Грязнов А. Ф., Федоров Ё. И., Руднева В. П., Колесников A.C., Смирнова Е. Д. и др.

На данное исследование значительное влияние оказали идеи, разрабатываемые в трудах по философским вопросам математического знания и логику таких авторов, как Перминов В. Я., в частности, его работы^ которых затрагиваются вопросы специфики математического знания и математического доказательстваРузавин Г. И., анализирующий философские проблемы оснований математикиМануйлов В.Т., исследующий аналитический и конструктивный подход к философско-математическим вопросамКузичева.

З.А., разрабатывающая проблемы оснований математики, связанные со спецификой языка математикиЯновская С.А., с ее исследованиями методологических проблем науки. и в частности математикиЦелищев В.В., Беляев Е. А., Карпович В. Н., Асмус В. Ф., Панов М. И., Успенский В. А., Поляков И. В., Сисюк Н. П., Медведев Ф. А., Черепанов С. К., Гетманова А. Д. и др.

Ряд диссертаций и монографий указывает, также как и труды вышеупомянутых авторов, на повышенное внимание к проблемам аналитического подхода в философии математики, однако уровень разработанности этого направления еще недостаточно значителен. Данная диссертация призвана заполнить пробел в этой области исследований.

Целью диссертационного исследования является раскрытие сущности аналитического подхода к проблемам обоснования математического знания, выявление его обусловленности и значимости в историко-философском контексте и контексте человеческого знания в целом. Реализация цели предполагает решение следующих задач: выявление основных характеристических черт аналитической традиции мысли XX векапроведение концептуального анализа различных подходов к проблемам философии математики на предмет определения наличия в них существенных признаков, характерных для аналитической традиции и выявление наличия взаимосвязи аналитической традиции с областью оснований, обуславливающего формирование течения аналитической философии математикивыделение направления аналитической философии математики как пересечения аналитической традиции с областью оснований математики и выявление его основных тенденций, выявление исторической обусловленности и историко-философских предпосылок аналитической философии математикивыявление обусловленности возникновения, выявления сущности и значения формально-логического языкового подхода к проблемам оснований математики, определение объективных причин его развитияопределение роли и значения формально-логического языкового подхода (как части аналитической философии математики) в математическом и философском знании и выявление причин, ограничивающих возможности применения формальных средств познаниявыделение объективных причин возникновения лингвистической тенденции в аналитической философии математики, выявление сущности лингвистического подхода и его значимости в философии математики и в философском знании вообщевыявление результатов исследований лингвистического подхода в целом (как основного составляющего аналитической философии математики) — подведение заключительных итогов и выводов, раскрывающих сущность и значение аналитического подхода к проблеме обоснования математического знания.

Теоретико-методологические принципы и источники исследования.

Осуществление указанных действий требует использования соответствующих методов. В диссертационном исследовании использовался метод историко-философской реконструкции, который включает в себя методики первичного (при изучении источников) и вторичного (при привлечении различного рода критической литературы) исследования, а также методы интерпретирующего анализа (при анализе и сравнении различных концепций).

В качестве источников исследования выступают работы отечественных и зарубежных авторов, относящихся к нескольким группам: труды, в которых содержатся идейные предпосылки аналитической традиции, и в частности предпосылки аналитической философии математики, а именно, работы Декарта Р., Лейбница Г. В., Беркли Дж., Юма Д.- работы, относящиеся непосредственно к аналитическому направлению философии математики, то есть работы Фреге Г., Рассела Б., Витгенштейна Л., и Карнапа Р.- работы, относящиеся к проблематике оснований математического знания и вопросам математической логики. Это труды следующих мыслителей: Больцано Б., Дедекинд Р., Кантор Г., Гильберт Д., Уайтхед А. и др.- труды, посвященные исследованию сущности и особенностей аналитической традиции XX века, следующих авторов: Бобровой Л. А., Панова М. И., Панченко А. И., Грязнова А. Ф. и некоторых других исследователей данной проблемыпомимо этого, в качестве источников были использованы труды отечественных и зарубежных авторов, излагающие содержание непереве-денных работ мыслителей последней группы, либо излагающие отдельные аспекты их концепций или концепций, непосредственно связанных с их исследованиями. Это работы таких авторов, как Бирюков Б. В., Нарский И. С., Колесников A.C., Клайн М., Успенский В. А., Кузьмичева A.A., Кутыркин А. Б., Мадер В. В., Кутюра Л. и др.

Научная новизна диссертационной работы заключается в реализации подхода к изучению философского наследия аналитиков XX столетия, рассматривающего аналитическую тенденцию в области обоснования математического знания как целостное направление. Благодаря этому в исследовании получен ряд новых положений: выявлена объективная взаимосвязь идейных разработок оснований математики и аналитической философской традиции двадцатого столетия. Взаимосвязь обусловлена как влиянием исследований и идей области оснований (в частности таких мыслителей, как Г. Кантор, Г. Фреге, Б. Рассел и др.) на становление и развитие аналитической традиции, так и наличием общих историко-философских предпосылок этих полей исследованиявыявлено направление аналитической философии математики как пересечение области оснований математического знания и области исследований в ключе аналитической традиции. Аналитическая философия математики, представляющая собой основную составляющую разработок проблем математического знания в аналитической традиции, впервые в отечественной и зарубежной литературе представлена как целостное направление, характеризующееся общим предметом, общими методами, признаками и особой спецификой исследованийопределены основные характеристики течения аналитической философии математики, состоящие в логико-лингвистической направленности исследований, стремлении к выявлению специфики математического знания в свете человеческого знания вообще, и в частности научного знания, выделением значимости формальных и неформальных языковых средств в разработке различных областей математического знания и математики в целомвыявлены историко-философские предпосылки аналитической философии математики, являющиеся общими истоками аналитической традиции и области оснований математического знанияопределены объективные причины, обусловившие возникновение формально-логического языкового подхода к проблематике оснований, раскрывающие его сущность и значение в философско-математическом контекстевыявлена взаимосвязь формально-логического и лингвистического подходов к проблеме обоснования математического знания, их взаимодополняемость и перспективность дальнейшей разработкина основе анализа лингвистических концепций математического знания выявлена и обоснована ограниченность применения естественного языка как в философско-математических исследованиях, так и в теории познания вообщеобобщающие выводы позволили раскрыть сущность аналитического подхода к проблемам обоснования математического знания, заключающуюся как в логической разработке языковых систем, в синтаксическом и семантическом совершенствовании языковых средств математики, так и. в сочетании этих методов исследованияв диссертации впервые определено значение идей аналитического подхода к проблеме обоснования математического знания в философско-математическом контексте, а именно:

1) исследования аналитической направленности раскрывают диалектическую природу математического знания и его языка, сочетающую формальное и неформальное, содержательное и теоретическое, естественное и искусственное, что приводит к осознанию целостности математической науки и позволяет преодолеть кризис оснований (и дает качественно новый взгляд на парадоксы и трудности теорий);

2) аналитическая философия математики вырабатывает логико-лингвистический подход к гносеологическим и онтологическим проблемам философии, интерпретируемый на наиболее строгой и точной области знания — математике.

Таким образом, диссертация восполняет пробел в проблемном поле исследований, связанных с аналитической традицией, и вносит свой вклад в развитие философии математики. Она позволяет более адекватно оценить философско-математические аспекты творчества таких мыслителей, как Г. Фреге, Б. Рассел, Л. Витгенштейн и Р. Карнап в историко-философском процессе и общекультурную значимость их концепций.

Результаты диссертационного исследования могут применяться в учебных курсах по истории западной философии, по философии и методологии научного знания, в спецкурсах по философским вопросам математического знания и курсах по основаниям математики (для математических специальностей).

Апробация работы.

С идеями своего исследования автор неоднократно выступал на конференциях и научно-методических семинарах. Так, в 1997;98 гг. основные положения и развернутый план диссертации обсуждались на докторантском семинаре проф. Кочергина А. Н. и семинаре по логико-философским, онтологическим и гносеологическим вопросам чл. кор., проф. Мелюхина С. Т. в ИГТПК МГУ им. М. В. Ломоносова.

Идеи диссертации излагались автором на конференции «Илиадиевские чтения», состоявшейся в Курске в 1998 г. Тезисы доклада были опубликованы в сборнике этой конференции (Арепьев Е. И. Язык и объекты математики. Историко-гносеологический анализ // Илиадиевские чтения. — Курск, 1998).

Развернутый план, отдельные идеи и положения диссертации обсуждались автором с ведущими учеными, работающими в данной области или близкой к данной: проф. Перминовым В. Я., чл. кор., проф. Мелюхиным С. Т., проф. Микешиной Л. А. и др.

Структура диссертационного исследования определяется его целью и задачами. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, в ходе диссертационного исследования установлено, что аналитическая традиция мысли XX века, проецируемая на проблематику обоснования математического знания, образует так называемое направление «аналитической философии математики». Это течение характеризуется логико-лингвистической направленностью исследований, характеризуется тем, что методы, разрабатываемые в рамках данного направления, опираются на анализ языка математических систем (содержательных и формальных) и языка математики в целом, а также тем, что исследования в этой области носят отпечаток приверженности авторов к научной рациональности и рациональному способу мышления.

Выявить наличие указанного направления позволяет критический анализ идей аналитической философии и идей, разрабатываемых в области оснований математики в конце XIX — начале XX веков, проведенный в первом параграфе первой главы. В нем же содержится общий обзор аналитической философии двадцатого столетия в целом, включающий в себя исследование доминирующих идейных направлений, выявление их существенных отличительных признаков и характеристик.

Критическое обозрение аналитической традиции позволяет выделить основные комплексы идей, основные установки, положения и подходы, составляющие наиболее существенные моменты этого направления.

В соответствии с задачами, поставленными в начале работы, в параграфе исследуется область, имеющая свои истоки еще в трудах античных мыслителей, но сформировавшаяся в основном лишь в XIX — начале XX столетий и получившая название «основания математики». Исследование кризиса оснований, назревающего в указанный период, его причин и путей преодоления, а также анализ последствий, которые этот кризис вызывает в философии математики и в философском знании вообще, позволяет выявить положения, характеризующие область оснований математики, и обнаружить тождественность, связь и сходство многих из этих положений с выявленными ранее, в ходе исследования аналитической традиции.

Эта тождественность и сходство приводит к выводу о непосредственной взаимозависимости рассмотренных направлений, что позволяет исследовать далее их общие положения с новой позиции. Благодаря тому, что перечень характеристик, методов и требований, который выявляется для аналитической философии математики, является, по существу, результатом анализа основных признаков двух различных областей исследования: аналитической традиции философской мысли XX столетия (доминирующей чертой которой является языковая направленность разработок) и области оснований математики, вполне обоснованно можно утверждать о существовании приоритета языковых средств исследований в математическом знании и его основаниях по сравнению с естественными науками. Последнее положение подтверждается и результатами анализа исторического развития математического и естественнонаучного знания и раскрывает еще один аспект специфики математики.

Множество общих черт, присущих двум рассматриваемым областям: аналитической философии и области оснований математики, а также наличие мыслителей, которых можно причислить к каждому из них (таких как Фреге, Рассел и др.), объясняется тем, что аналитическая традиция сложилась во многом испытывая влияние разработок по основаниям математики. В свою очередь, аналитический подход к проблематике обоснования математического знания, дополняя исторически сложившуюся картину исследований, приводит к образованию направления аналитической философии математики.

Связь идей аналитической традиции и идей, разрабатываемых в области оснований, обуславливается, помимо всего, еще и общими историко-философскими предпосылками, которые являются также истоками аналитической философии математики. Второй параграф первой главы как раз и посвящен выявлению историко-философских предпосылок этого направления.

В исследованиях многих мыслителей, начиная со времен античности и заканчивая двадцатым столетием, можно выявить составляющие компоненты идейных источников, оказавших влияние на концепции аналитиков и философов математики. Поэтому предоставить исчерпывающий перечень идей, являющихся предпосылками аналитической традиции XX века, как и исчерпывающий перечень философских предпосылок области обоснования математического знания, практически невозможно. Тем не менее, говоря об аналитической философии математики, которая образуется как бы пересечением двух указанных полей исследований, вполне определенно можно сказать, что основные предпосылки этого направления формируются на базе идей традиции Декарта и Лейбница. Анализ их концепций позволяет сделать вывод о том, что методы, разрабатываемые ими, взгляды на соотношение математики и логики, выделение роли языковых средств в философском познании — все это явилось фундаментом, на котором основываются исследования более поздних мыслителей, относящихся к аналитической философии математики.

Исследование показывает нам, что именно стремление к реализации идей Декарта и Лейбница является причиной детальной разработки формально-логического языкового подхода к философско-математическим проблемам, и именно эти идеи лежат в основе создания лингвистически ориентированных концепций математического знания.

Помимо этого, анализ отдельных аспектов позиций некоторых других представителей мысли Нового Времени (таких как Беркли и Юм) позволяет говорить о наличии общей тенденции к усмотрению сущности философских проблем в природе языка. Поэтому можно вполне обоснованно сделать вывод о том, что исследования Декарта, Лейбница и, отчасти, Беркли и Юма, послужили причиной возникновения оформившегося позднее логико-лингвистического течения в методологии и обосновании знания вообще и в частности математического знания.

Идеи этих мыслителей, несмотря на критику, способствовали выдвижению на первый план ряда вопросов, относящихся к возможности построения единого метода познания, возможности выявления единых оснований знания и возможности унификации и даже формализации языка науки. Причем, согласно концепциям Декарта и Лейбница, решение этих вопросов возможно и наиболее доступно при исследовании их применительно к частному случаю — к области математического знания. Утверждение возможности построения единой формально-логической языковой системы математического знания, возможности создания на основе такой системы единого алгоритмического метода разрешения математических проблем и задач, попытки отыскания границ применимости естественного языка и исследование перспектив искусственного языка, созданного путем семантических и синтаксических усовершенствований естественного, — все эти положения, разрабатываемые в аналитической философии математики, вырастают на базе идей мыслителей, позиции которых анализируются в этой части диссертации.

Проблема обоснования знания в целом включает в себя проблему обоснования наиболее точной области знания — математики, и вполне оправданно можно полагать, что основания математики являются ключом к разрешению философской проблемы оснований знания вообще. Каковы же закономерности, результаты и перспективы развития логико-лингвистического течения в основаниях и методологии математического знания? В чем сущность аналитического подхода к проблемам оснований математики? Именно этим вопросам посвящена вторая глава диссертации.

Вначале в этой главе (в ее первом параграфе) исследуются первые разработки и концепции философии математики логико-лингвистической направленности. Аналитический подход к проблеме оснований математического знания характеризуется на начальном этапе своего развития доминированием формально-логических языковых средств исследования.

Мы видим, что идеи Больцано, Кантора, Дедекинда, вместе с идеями некоторых других мыслителей, разрабатывающих область оснований, приводят к созданию теоретико-множественного подхода к проблеме обоснования математики. Это в свою очередь приводит к признанию возможности построения основ математического знания в виде единой теоретической системы. Анализ позиций указанных мыслителей позволяет сделать вывод о том, что трудности и парадоксы, связанные с теоретико-множественным обоснованием математики, обуславливаются недостаточным уровнем разработанности языковых средств математического знания и тем самым привлекают внимание ученых к этому вопросу. Благодаря этому предположение о сводимости математики к логике приводит к попыткам создания формальнологической языковой системы арифметики (и позднее всей «чистой» математики). Реализация этой программы служила бы обоснованием универсальности формально-логических языковых средств.

Исследование, проведенное в этой части работы, подтверждает тезис о том, что попытка сведения арифметики к логике, предпринятая Готлобом Фреге, дает толчок к развитию математической логики и представляет собой один из первых примеров создания формально-логической языковой системы оснований (такие системы впоследствии получили название систем фре-ге-расселовского типа).

В результате критического анализа получена интерпретации тезиса о противоречивости системы Фреге (выдвинутого Расселом) в естественном языке, позволившая выявить единство сущности этого противоречия с парадоксом Рассела. Это, опять же, указывает на то, что причина противоречий в несовершенстве разработанного языкового аппарата.

Обнаружение противоречивости фрегевской системы не препятствует Расселу развивать логицистскую концепцию, разработку которой начал Фреге. Рассел стремится избежать трудностей, с которыми столкнулись создатели теории множеств и Готлоб Фреге. Логицисты (Рассел и Уайтхед), пытаясь свести всю «чистую» математику к логике, достигают значительных результатов. Они разрабатывают формально-логическую языковую систему, средствами которой вполне выразимы основные законы, понятия и объекты чистой математики. И доказанная Геделем позднее ограниченность формальных методов и невозможность создания непротиворечивой и полной (одновременно) формализованной системы арифметики (а также любой системы, содержащей арифметику) не может, тем не менее, умалить значимость рассмотренного периода становления и развития аналитической философии математики.

В этот период происходит выявление необходимости и перспективности разработки языковых средств математического знания, области его оснований и человеческого знания в целом. Исследования языка математики и обращение к символической логике обуславливают тенденцию к логизации математической науки, что позволяет сделать новый шаг в ее развитии. Попытки сведения отдельных областей и всей математики в целом к логическим основам выявляют значимость формальных методов исследования, которая не может игнорироваться даже после открытий К. Геделя.

Помимо этого, в указанный период развития аналитической философии математики, вместе с разработкой формальных средств построения теорий, происходит осмысление роли и признание важности естественного языка в теоретических исследованиях. Это обуславливает тенденцию к совершенствованию естественного языка, используемого на содержательном уровне математики и приводит по существу к осознанным попыткам разработки искусственного неформализованного языка теории, обладающего необходимой строгостью и свободного от недостатков естественного языка.

Последнее положение заключает в себе росток дальнейшего развития аналитической философии математики, характеризующегося лингвистической направленностью исследований.

Лингвистическая трактовка математического знания, как основное идейное ядро аналитического подхода к обоснованию математики, исследуется во втором параграфе второй главы (заключительном параграфе диссертации).

С тридцатых годов двадцатого столетия в аналитической философии математики наблюдается некоторый отход от формально-логических позиций. Анализ позволяет выявить основные факторы, послужившие причиной такого отхода. Одним из этих факторов является спорность многих положений систем Фреге и Рассела с Уайтхедом, вызвавших резкую критику со стороны ряда выдающихся математиков, логиков и философов. Далее, результаты, полученные К. Геделем в начале 30-х годов, ясно указывают на невозможность полной формализации арифметики и всей математики, что выявляет принципиальную ограниченность формальных методов познания и несводимость математики к логике. Наконец, внутри самого течения аналитической философии математики происходит пересмотр взглядов на многие аспекты проблемы обоснования математического знания, приведший к выдвижению на первый план лингвистической доктрины.

Несмотря на тесную связь с исследованиями формально-логической направленности, лингвистический подход к проблематике оснований математики, разрабатываемый в трудах рассматриваемых в этой части работы мыслителей (поздний период творчества Л. Витгенштейна, Р. Карнапа и Б. Рассела), вносит ряд существенно новых положений и тенденцией в фило-софско-математическую область, которые и явились основной составляющей логико-лингвистической традиции, связывающей аналитическую философию с проблемным полем обоснования математического знания. Одним из важнейших результатов этого подхода является обоснование возможности отношения к положениям математических теорий как к правилам языковой игры. В свою очередь это предоставляет возможность допущения парадоксов в математическом знании в целом и в его отдельных теориях.

Благодаря концепции языковых игр, происходит также выделение одного из наиболее значимых аспектов специфики математического знания, заключающегося в том, что каждое новое положение или доказательство в рамках теоретической системы является в то же время новым правилом языковой игры, к которой эта система сводится.

Исследование лингвистических разработок выявляет, что благодаря им происходит осознание значимости контекстуального анализа и обоснование необходимости введения языковых систем, где значения терминов не являются однозначно фиксированными. При рассмотрении выявляется также, что лингвистический подход к философско-математическим проблемам характеризуется и осуществлением синтаксической и логико-семантической реконструкции естественного языка с целью его использования в математическом знании и в других науках. Идея языковых каркасов и минимальных словарей, продолжающая тенденцию реконструкции естественного языка и создания искусственных неформализованных языковых систем, является, по существу, одним из центральных положений аналитической философии математики в целом.

Результаты исследований позволили также в этом параграфе выявить идеи, содержащиеся в лингвистической доктрине математического знания, которые обеспечивают возможность обоснования ограниченности применения средств естественного языка в разработке онтологических и гносеологических проблем математики и всего научного знания. Значение этой доктрины состоит еще и в том, что в ее рамках осуществляется попытка доказательства сводимости онтологических и гносеологических вопросов оснований к практическим (методологическим) языковым вопросам.

Вместе с тем исследование необходимым образом приводит к выводу, что лингвистическая тенденция в аналитической философии математики не может служить причиной отрицания значимости формально-логических методов в математическом знании, его основаниях и методологии. Напротив, благодаря тем философско-математическим изысканиям мыслителей, которые носят лингвистический характер, выявляется диалектическая природа математического знания, которое необходимо сочетает формальное и неформальное, теоретическое и содержательное, естественное и искусственное, причем это относится как к самой математике, так и к ее основаниям и математической логике. Последнее положение еще раз указывает на доминирующую роль в аналитической традиции оснований математики именно лингвистической ее трактовки как наиболее общей и всеобъемлющей концепции.

Подводя итоги нашего исследования, необходимо сказать еще раз о важнейшем аспекте значимости аналитического подхода к проблеме обоснования математического знания. Труды мыслителей, разрабатывавших формально-логические и лингвистические концепции математики, предлагают нам комплекс идей, связанных с языковым подходом к онтологическим, гносеологическим и другим проблемам человеческого знания, подлежащих дальнейшему развитию и интерпретации в наше время. Но сам предмет их исследований — математика — являясь образцом точной науки, служит гарантом максимальной строгости и достоверности получаемых положений. Это обеспечивает перспективность дальнейших изысканий в том же ключе и обуславливает применимость идей, методов и положений в других областях знания на современном этапе их развития.

Таким образом, перечисленные результаты дают основание заключить, что поставленные в диссертации задачи решены и цель диссертационного исследования достигнута.