Задачи с развивающими функциями как средство обеспечения преемственности в обучении математике между начальной и основной школой

Одной из тенденций развития современного школьного математического образования является его гуманизация. Она выражается, в частности, в усилении в содержании элементов, открывающих возможности математических знаний для интеллектуального развития ребенка, в обеспечении взаимодействия человека с миром. Кроме того, она обусловливает расширение содержания математического образования, а также новый подход к построению задач, ориентированных на развитие мышления. Этим и вызвано появление альтернативных программ и учебников для начальной и основной общеобразовательной школы. В связи с * этим становится актуальной проблема согласования программ и учебников, используемых в начальной и основной школах, которая отражает более общую проблему обеспечения преемственности содержания математического образования в выделенных ступенях общеобразовательной школы.

Преемственность в общефилософском смысле трактуется как связь между различными этапами или ступенями развития. Сущность ее состоит в сохранении и развитии тех или иных элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию.

Решение проблемы преемственности в методике обучения математике предполагает тесную взаимосвязь психологических и собственно методических закономерностей.

В настоящее время многие программы и учебники по математике для начальной школы (Э.И.Александрова, И. И. Аргинская, Н. Б. Истомина, Д.Г.Петерсон) ориентированы на «развивающее обучение». Учебники по математике в 5−6 классах, используемые в массовой практике (И.В.Баранова, Н. Я. Виленкин, Э.Р.Нурк), являются учебниками традиционного обучения. Традиционное обучение уделяет основное внимание формированию «навыков вычислений» (103). Развивающее обучение ориентировано на комплексное развитие личности ученика. Возникает идейная, а, следовательно, и содержательная несогласованность курса математики начальной и основной школы.

Содержательная несогласованность обусловлена тем, что авторы «развивающих учебников» для начальной школы идут по пути расширения объема содержания начального курса математики, включают в него те вопросы, которые традиционно изучаются в основной школе. Другой аспект содержательной несогласованности учебников состоит в том, что упомянутые учебники для начальной школы насыщены нестандартными, занимательными задачами, а также задачами, основанными на дополнительном теоретическом материале. В традиционных учебниках для основной школы таких задач недостаточно.

Возможное решение этой проблемы лежит на пути создания единого курса «Математика 1−6». Работа в этом направлении уже ведется (достаточно упомянуть учебники Н.Б.Истоминой),.

В нашем исследовании принят иной подход к решению проблемыобогащение содержания, точнее, задачного материала традиционных учебников математики 5−6 классов, продолжающего линии развития учащихся, принятые в учебниках начальной школы. Это должно обеспечить преемственность с развивающим курсом математики начальной школы.

Несогласованность программ и учебников математики для начальной школы и 5−6 классов, отсутствие эффективной методики, способствующей развитию учащихся в массовой практике, определяют актуальность нашего исследования. Научных исследований, связанных с решением этой проблемы в выделенном нами ракурсе, нам обнаружить не удалось, однако на страницах журналов «Математика в школе» и «Начальная школа» в последнее время появились статьи, затрагивающие эти актуальные проблемы.

Проблема исследования состоит в поиске путей обеспечения содержательной преемственности в обучении и развитии учащихся при переходе из начальной школы в основную.

Определилась цель исследования: разработать дополнительный набор задач с развивающими функциями для 5−6 классов, а также методику работы с ними, в которой отражены линии общего и математического развития, принятые в начальной школе.

Для решения проблемы исследования нами выделен следующий объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе и в 5−6 классах.

Предметом исследования является набор дополнительных задач с развивающими функциями для 5−6 классов и методика работы с ним.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике в 5−6 классах использовать специально созданный набор задач с развивающими функциями, то это будет способствовать:

• обеспечению поступательного характера развития учащихся, обучающихся в начальной школе по «развивающим» программам и учебникам, а в основной — по традиционным;

• усвоению базового содержания и развитию умений решать задачи повышенной сложности;

• развитию интереса учащихся к математике.

Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены и решены следующие задачи:

• проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу с целью изучения понятий «развивающее обучение», «преемственность как условие развития'*, «развитие математического мышления», «задачи с развивающими функциями» ;

• провести сравнительный анализ содержания учебных программ и учебников по математике в начальной школе и в 5−6 классах, утвержденных Министерством образования Российской Федерации и используемых в практике;

• выявить типы задач, решение которых может способствовать общему и математическому развитию, сформулировать требования к набору задач;

• разработать набор задач с развивающими функциями и методику его использования при обучении теме «Натуральные числа» в 5 классе на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы;

• экспериментально проверить выдвинутую гипотезу: поступательный характер развития будем выявлять экспериментально по переходу учащихся с более низкого на более высокий уровень развитияусвоение базового содержания, развитие умений решать задачи повышенной сложности и развитие интереса к математике будем выявлять в ходе проведения тестовых и срезовых работ и анкетирования.

В ходе исследования были использованы различные методы:

• теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

• организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;

• количественная и качественная обработка результатов эксперимента;

• наблюдение;

• интервью с учителями и методистами.

Исследование проводилось с 1996 по 2003 год и включало несколько этапов.

На первом этапе (1996 — 1998 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической, методической литературы и содержания школьных учебников, определены типы задач, которые целесообразно использовать для общего и математического развития учащихся.

На втором этапе (1998 — 2000 гг.), в рамках поискового эксперимента, определялись принципы организации задач в набор, уточнялись формулировки задач и методика их использования в процессе обучения. Итогом работы на этом этапе было уточнение теоретической концепции исследования.

На третьем этапе (2000 — 2002 гг.) был разработан набор задач и методика его использования при обучении учащихся 5 класса теме «Натуральные числа» на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы, осуществлялся формирующий эксперимент.

На четвертом этапе (2002 — 2003 гг.) была проведена количественная и качественная обработка результатов эксперимента, их теоретическое осмысление.

Методологической базой нашего исследования являются: теория развивающего обучения, система общедидактических принципов, важнейшим из которых является принцип преемственности в обучении, и исследования, связанные с проектированием наборов и систем математических задач.

Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в следующем:

• обоснована возможность и целесообразность создания условий для обеспечения более эффективного общего и математического развития учащихся 5−6 классов при обучении по традиционной программе;

• предлагается новый подход к осуществлению преемственности в обучении и развитии учащихся, s обучающихся в начальной школе по «развивающим» программам и учебникам, а в основной — по традиционным;

• разработаны требования к набору дополнительных задач с развивающими функциями для 5−6 классов, обеспечивающему преемственность в обучении и развитии между начальной и основной школой;

• разработаны теоретические положения, лежащие в основе методики использования набора дополнительных задач с развивающими функциями.

Практическая значимость состоит в создании набора дополнительных задач с развивающими функциями по теме «Натуральные числа» для реализации на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы, и методики его использования при обучении учащихся 5 класса, разработаны практические рекомендации учителям 5−6 классов по выбору программы и учебника.

Достоверность результатов исследования обеспечивают: разносторонний анализ проблемы, согласованность полученных теоретических и экспериментальных данных с ранее проведенными исследованиями, результаты экспериментальной проверки.

Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в гимназии № 52 Санкт-Петербурга, а также во всех школах Приморского района Санкт-Петербурга. Результаты исследования докладывались на методологических семинарах аспирантов и преподавателей кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (1999, 2001 гг.), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (2001, 2002, 2003 гг.), на семинарах учителей математики Приморского района Санкт-Петербурга, на семинарах учителей математики в Санкт-Петербургском университете педагогического мастерства (1998;2003 гг.).

На защиту выносятся следующие положения:

• Чтобы набор задач с развивающими функциями для 5−6 классов обеспечивал преемственность в обучении и развитии учащихся между начальной и основной школой, он должен включать задачи, согласованные по содержанию с отдельными блоками теоретического материала, представленного в учебниках 5−6 классовсодержать группы задач, ориентированных на обеспечение выделенных в ходе исследования направлений общего и математического развития.

Методика работы с набором дополнительных задач с развивающими функциями должна обеспечить увеличение доли самостоятельности учащихся при решении задач за счет использования приемов, стимулирующих внутреннюю мотивацию, выполнение поисковых и контрольно-оценочных действий.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1) Обеспечение преемственности в обучении математике между начальной и основной школой (в соавторстве с Н.Л.Стефановой) // Проблемы теории и практики обучения математике. — СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2001. — сД 65.

2) Типы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. — СПб.: РГПУ им. А. ИГерцена, 2002. — с. 185.

3) Психолого-педагогические основы построения системы задач с развивающими функциями. // Проблемы теории и практики обучения математике. — СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2003. — с. 220.

4) О проблеме преемственности в обучении математике между начальной и основной школой (в соавторстве с Н. В. Григорян,.

Л.А.Жигулевым, Е.Ю.Лукичевой) // Начальная школа плюс: до и после. -2002.№ 7.-с. 17−21.

5) Тест за курс начальной школы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». — 2002. № 22. — с. 1−2.

6) Математические каникулы // Математика. Приложение к журналу «1 сентября». — 2003. № 2. — с. 7.

7) Смыкалова Е. В. Развивающее обучение на уроках математики в 5−6 классах. Программа, поурочное планирование, тесты. СПб: СМИО Пресс, 2001.-64 с.

8) Смыкалова Е. В. Опорные конспекты по математике 5−6 классы. СПб: СМИО Пресс. 2000. — 48 с.

9) Смыкалова Е. В. Сборник задач по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2000. — 80 с.

10) Смыкалова Е. В. Сборник задач по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. — 1X2 с.

11) Смыкалова Е, В. Дополнительные главы по математике. 5 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. — 48 с.

12) Смыкалова Е. В. Дополнительные главы по математике. 6 класс. СПб: СМИО Пресс. 2001. — 48 с.

13) Смыкалова Е. В. Сборник задач по математике. 7 класс. СПб: СМИО Пресс. 2003. — 48 с.

Выводы по главе 1.

Развитие учащихся становится приоритетным направлением в системе обучения. Обеспечить его при обучении учащихся 5−6 классов можно нахождением методических средств, адекватно отражающих принципы развивающего обучения, выдвинутые Л. С. Выготским и Л. В. Занковым.

Важнейшим условием обеспечения развивающего обучения является преемственность. С другой стороны, сама преемственность может проявляться в построении единой стратегии развития учащихся в начальной школе и в 5−6 классах. Особенно значимым в этой стратегии является содержательный аспект.

Основным средством, обеспечивающим преемственность развития учащихся 5−6 классов, является набор задач с развивающими функциями, в котором реализуются линии общего и математического развития.

В качестве линий общего развития выделены развитие наблюдения, общих операций мышления и практических действий согласно исследованиям Л. В. Занкова, а линии математического развитая — развитие логического, функционального и пространственного мышлений — согласно исследованиям Ю. М. Колягина. Преемственность будет реализовываться в переводе учащихся 5−6 классов в процессе обучения математике на более высокий уровень (по сравнению с тем, на который они должны выйти в начальной школе) владения операциями, которые характеризуют выделенные психологические образования.

Глава 2. Методика использования набора задач с развивающими функциями, обеспечивающая преемственность в обучении и развитии 2.1. Требования к набору задач с развивающими функциями.

Требования к набору дополнительных задач с развивающими функциями, обеспечивающего преемственность в обучении между начальной и основной школой, вытекают из ориентации на дальнейшее общее и математическое развитие учащихся, В главе 1 мы обосновали существование трех направлений общего развития (см. параграф 1.1) и трех направлений математического развития (см. параграф 1.3). Типология задач основана на выделении трех характеристик общего развития {наблюдение, мышление, практические действия) и характеристик математического развития (.логическое, функциональное и пространственное мышление), которое продолжает и совершенствует стратегию развивающего обучения математике.

В этом параграфе мы определим для каждой линии тип задач, решение которых, по нашему мнению, будет способствовать дальнейшему общему и математическому развитию учащихся, а также сформулируем требования к набору задач с развивающими функциями для обеспечения преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой.

Для каждой характеристики или направления выделены показатели (действия), на выполнение которых должны быть ориентированы задачи соответствующего типа. Эти показатели были выделены нами таким образом, что являются более сложным действием по сравнению с тем, что формируется в этом направлении в начальной школе.

Отметим, что решение любой задачи предполагает выполнение действий, отвечающих разным направлениям. Далее мы покажем, как в каждом направлении общего и математического развития мы выделили типы задач и разные уровни сложности этих задач.

Набор задач должна включать в себя задания разного уровня сложности. Только в таком случае возможно обучение каждого ученика на высоком уровне трудности.

Уровень сложности будем определять числом элементов, связей и видов связей в задаче. «Сложность задачи является объективной характеристикой, не зависящей от субъекта, она определяется числом элементов, связей и видов связей, которые образуют внутреннюю структуру задачи» [37, с. 55]. Элементы — это такие минимальные компоненты задачи (системы), на которых реализовано основное отношение. Зная структуру задачи, можно определить ее сложность как объективную характеристику, независимую от мнения субъекта. Зная структуру задач, их можно ранжировать по степени сложности.

На каждом уровне сложности задачи можно расположить по степени возрастания их трудности. «Критерий трудности (как субъективная характеристика) в общем случае пока неизвестен, однако учет индивидуальных возможностей учащихся, степени новизны предложенной задачи, количество выполняемых преобразований, опыта учителя и т. п. позволяют на интуитивном уровне решать в конкретных условиях также и проблему ранжирования задач по трудности» [37, с. 56−57].

Можно выделить задачи, для решения которых наиболее существенным является одно из трех направлений общего развития: наблюдение, мышление или практические действия (см. параграф 1.1 диссертации), и одно из трех направлений математического развития (см. параграф 1.3 диссертации).

Приведем ниже типологию задач, разработанную нами.

Общее развитие.

Заключение

.

На основе теоретических и экспериментальных исследований удалось выделить направления развития учащихся 5−6 классов, которые обеспечили бы их общее и математическое развитие. В связи с современной тенденцией развития математического образования особенно важно определить направления общего развития, которые можно осуществить средствами математики. В качестве направлений общего развития были избраны разработанные Л. В. Занковым следующие направлениянаблюдение, мышление, практические действия. Кроме того, были выделены направления, обеспечивающие математическое развитие учащихся 5−6 классовлогическое мышление, функциональное мышление, пространственное мышление.

В каждом из выделенных направлений были установлены действия, которые должны обеспечить преемственное развитие учащихся 5−6 классов при изучении математики.

Система этих действий стала основой для выделения типов задач, которые целесообразно включить в набор дополнительных задач с развивающими функциями для 5−6 классов.

Разработаны требования к структуре набора задач, к содержанию и к формулировкам задач. В соответствии с ними разработан набор дополнительных задач по теме: «Натуральные числа» на этапе обобщающего повторения курса математики начальной школы.

Была предложена методика работы с этим набором задач, которая использовалась в формирующем эксперименте. Основное положение методики — увеличение доли самостоятельности учащихся при решении задач. Это обеспечивается следующими приемами: развитием внутренней мотивациирасширением спектра способов деятельности учащихсяовладением различными приемами оценки своих действий. Выделены главные приемы: прием использования аналогии, сравнения, индукцииприем решения одной и той же задачи различными способамиприем проверки решения по образцу.

Формирующий эксперимент полностью подтвердил гипотезу исследования. Таким образом, экспериментально доказано, что набор задач с развивающими функциями способствует:

• обеспечению поступательного характера развития учащихся, обучающихся в начальной школе по «развивающим» программам и учебникам, а в основной — по традиционным;

• усвоению базового содержания, развитию умений решать задачи повышенной сложности;

• развитию интереса учащихся к математике.

Разработанный набор задач способствует обеспечению преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой.

Возможности продолжения исследования мы видим в определении конкретных направлений развития учащихся средствами математики, которые обеспечивали бы как общее, так и математическое развитие учащихся более старшего возраста (по крайней мере в основной школе), и в отыскании соответствующих методических средств для их реализации.