Некоторые дополнительные сведения из математического анализа

Здесь мы только «прикоснемся» к тем трудным задачам и проблемам, которые связаны с существованием решений задач оптимизации и пространствами тех функций, среди которых мы вынуждены искать такие решения. Наша цель — познакомить читателя с этими трудностями, при этом в качестве примера выбрана пространственная периодическая задача, рассмотренная в примере 7.4.

Начнем с важнейшего вопроса о том, к какому классу функций принадлежит найденная в примере 7.4 и схематически изображенная на рис. 7.6 оптимальная функция /?*(ду) с ее бесчисленным множеством микропериодов — микропрофилей в ограниченной области Q. Этот вопрос важен, поскольку уже сам характер решения в виде такой функции h'(x, у) с бесконечным числом разрывов приводит к сложной проблеме, так как такие функции не изучаются в курсах математического анализа в высшей технической школе, ведь, как оказывается, для их описания необходимо владеть элементами теории меры и интеграла Лебега. Тем не менее мы кратко остановимся на описании «математического существа» представленного в примере 7.4 решения, тем более что оно обладает изящной геометрической наглядностью. Но для этого нам понадобится ввести ряд важнейших определений, без рассмотрения которых нам не обойтись принципиально. Речь идет об определении меры и интеграла по Лебегу.

Прежде всего приведем определение меры Лебега, которое опирается на понятия внешней и внутренней мер ограниченного множества Q. В практически интересном случае двумерной области Q под внешней мерой понимается нижняя грань площадей всех ограниченных открытых множеств, содержащих Q. Под внутренней мерой понимается верхняя грань площадей всех ограниченных замкнутых множеств, содержащихся в Q. Обозначим эти меры m‘Q и m.Q соответственно и приведем определение меры Лебега, или просто меры.

0.7.1. Если меры m’Q и т, Q совпадают, то говорят, что множество Q измеримо по Лебегу, а под его мерой mQ понимают общее значение внешней и внутренней мер:

Сразу укажем, что для квадратной области Q со стороной 1 лебегова мера mQ равна 1. При этом в нашем примере мера области, занятой микроканавками (при симметричном решении), mQ (h > 1) = 0,5, как и мера области без микроканавок: mQ (h = 1) = = 0,5. Это связано с тем, что поточечное значение предельной относительной функции ширины микропрофиля х равно 0,5, или, говоря упрощенно, микроканавки занимают ровно половину площади области Q. В одностороннем случае для этих мер

Укажем на интуитивно ясное понятие множества меры «нуль», которое в нашем примере носит достаточно наглядный характер: это мера всего множества линий разрыва, разъединяющих микроканавки (А > 1) и гладкие участки микропериода (А = 1). С понятием множества меры «нуль» тесно связано понятие «почти всюду», что означает выполнение некоторого свойства всюду за исключением множества меры нуль. То есть в нашем примере почти всюду в области Q функция А (х, у) либо равна 1, либо она больше 1.

Далее нам потребуется понятие измеримой функции, которое существенно опирается на понятие измеримого множества.

0.7.2. Если вещественная функцияДх), определенная на ограниченном измеримом множестве Е такова, что множество всех х е Е, для которыхДх) < С измеримо при любом числе С, то говорят, что функция /(х) измерима на множестве Е.

Характер нашей оптимальной функции АДх, у) с ее бесчисленным множеством микропериодов в ограниченной области Q показывает, что методика вычисления интеграла Римана к ней неприменима. Действительно, определение интеграла Римана предполагает, что при вычислении интегральной суммы мы можем выбрать любую точку в пределах некоторой малой области. Но в нашем случае это сделать нельзя, поскольку такая точка в данном случае может попасть л ибо в ту часть малой области, где А (х, у) > I, или туда, где А (х, у) = 1, или, наконец, на линию разрыва функции.

h (x, у). Именно изучение подобных функций^[1], возможно, и привело Лебега к пересмотру определения интеграла Римана, а точнее к его расширению. Остановимся на определении интеграла Лебега для ограниченных функций на примере функций одного независимого переменного.

Итак, пусть на ограниченном измеримом множестве Е = [а, Ь задана измеримая функция у =Дх), такая, что Л <�Л^Х) < В для всех х е Е. Разобьем интервал (А, В) следующим образом:

Здесь важно то, что в отличие от подхода Римана, где разбивается промежуток а, Ь оси абсцисс, на котором задана функция, в подходе Лебега разбивается промежуток А, В] оси ординат, т. е. промежуток значений функции. При этом с каждым промежутком значений функции y_j} y_j+,],/ = (), 1,2,…, п— 1, сопоставляется множество Е_к значений соответствующих аргументов х е Е_к, к = 1, 2,…, л, — тех, для которых, <]{х) <�у_к. Теперь остается построить верхнюю и нижнюю суммы Лебега, аналоги сумм Дарбу для выбранного способа разбиения:

где тЕ_к — мера множества Е_к.

Рассматривая всевозможные разбиения промежутка [А, В, получаем множество верхних и нижних сумм Лебега. Для каждой ограниченной измеримой на ограниченном измеримом множестве Е функции f (x) точные грани множества нижних и верхних сумм Лебега, отвечающие данному разбиению, совпадают:

0.7.3. Общее значение нижней грани множества верхних сумм Лебега и верхней грани нижних сумм, выражаемое общим значением чисел (7.65), называется интегралом Лебега ограниченной измеримой функции Дх) на измеримом ограниченном множестве Е.

Несмотря на то что наше построение интеграла Лебега приведено для функции одного переменного, оно без труда обобщается для функций многих переменных, чем мы далее и будем пользоваться.

Построенная Лебегом теория интеграла позволила работать с математическими объектами весьма сложной природы, и оптимальная функция Их, у) из примера 7.4 является типичным представителем таких функций. Вообще класс функций, интегрируемых по Лебегу в некоторой области Q, принято обозначать L (Q) или Z.,(Q), где индекс «единица» подчеркивает, что речь идет о функциях, интегрируемых в первой степени. И здесь имеется некоторая тонкость, которая порождена множеством приложений интеграла Лебега, в первую очередь его применением в математической физике. Не имея возможности детально рассмотреть этот вопрос, укажем только на то обстоятельство, что принято рассматривать пространства L_p(Q) — пространства функций, интегрируемых по Лебегу в степени р. При этом рассматривают весь диапазон степеней р от 1 до °о, причем в очень многих случаях пространство L ^(Q) оказывается тем пространством функций, среди которых следует искать оптимальное решение. Именно этот случай показан в примере 7.4, поэтому на пространстве L_X(Q) мы остановимся подробнее.

Пространство L JQ) определяют как пространство измеримых «существенно ограниченных» функций. При этом мерой близости (нормой) между его элементами является величина.

где vrai max переводится как истинный максимум.

Используя это определение, можно указать класс или пространство тех функций, среди которых разыскивается оптимальное решение в примерах 7.3 и 7.4:

Здесь величина й_тах определяется некоторыми технологическими условиями задачи и всегда ограничена.

Теперь у нас есть возможность в самых общих чертах пояснить существо проблемы появления в примере 7.4 такого нетривиального оптимального решения в виде функции h (x, у) с бесконечным числом разрывов в ограниченной области Q. Для этого обратимся к расширенному функционалу^[2] (7.35), выделяя в нем важнейшее слагаемое, содержащее главную часть дифференциального оператора, связанного с уравнением Рейнольдса:

Заметим, что названная главная часть дифференциального оператора при развернутой записи уравнения (7.32) имеет вид:

и само выражение (7.66) мы получаем после умножения на множитель Лагранжа Х (х, у) и интегрирования по частям. Оказывается, что порожденное квадратичной формой (7.66) множество^[3][4] {A_h, связанное с парами {И, р}:

может давать минимум исходного функционала на квадратичной форме более общего вида:²

где а_п ^фа_А, а коэффициенты a_t. е L^(Q).

Но такая предельная минимизирующая пара {И, р) в части функции профиля h (x, у) как раз и отвечает не скалярному, а тензорному характеру оптимальной управляющей функции И, что мы и описали ранее. Говоря иначе, отвечающее экстремальной парс функций {/;*, р*} уравнение, описывающее поле давлений, есть не уравнение Рейнольдса (7.32), а уравнение с матричными коэффициентами D и R (7.57)—(7.58).

При этом такой характер оптимального решения свойственен не только уравнениям типа рассмотренного нами уравнения Рейнольдса, но и другим классам уравнений математической физики, описывающим многие физические процессы.

• [1] Достаточно указать на функцию Дирихле, равную 1 в рациональных точках промежутка [0, 1 ] и равную 0 в иррациональных точках. Каквидим, абстрактная функция Дирихле есть «упрощенный» вариант нашей функции h*(x, у), причем связанной с конкретным техническимустройством.
• [2] Далее мы подразумеваем запись подынтегральной функции/в развернутом виде, раскрывая соответствующие векторные произведения.
• [3] Говоря строго, речь идет о сходимости в некотором смысле после довательности операторов | Ah^ j°° к оператору А.
• [4] Напомним, что множитель Лагранжа Цх, у) — произвольная функция, обладающая определенной гладкостью.