Качественные методы исследования дифференциальных уравнений

В этом подразделе мы остановимся на некоторых математических вопросах, связанных с исследованием свойств дифференциальных уравнений, и дадим определения и пояснения терминов, которые на интуитивном уровне уже использовались при анализе рассмотренных выше моделей.

В разобранных примерах моделирования реальных явлений мы обращались к заданным в явном виде решениям дифференциальных уравнений, с помощью которых исследовалось их поведение в различных предельных случаях. Однако не всегда решение дифференциальных уравнений можно получить в явном виде. Но и в этих случаях возможно получить качественную информацию об общих свойствах решений таких уравнений. В частности, могут быть установлены такие свойства решений, как неограниченный рост при t -> °о или приближение к определенному конечному пределу, периодичность решения как функции времени и т. д. Вначале мы будем по-прежнему опираться на решаемые в явном виде уравнения и рассмотрим некоторые качественные методы исследования, которые применимы и к уравнениям, для которых не могут быть найдены решения, задаваемые в явном виде.

Рассмотрим уравнение.

которое соответствует, например, ньютоновскому закону охлаждения нагретых тел. Решение этого уравнения легко получается в явном виде путем разделения переменных:

где х₀ = х (0). Отсюда немедленно следует, что Температура тела с течением времени приближается к значению, равному температуре А окружения. Отметим, что х (/) = А — это решение, соответствующее случаю, когда тело находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Любое другое решение асимптотически приближается к равновесному решению х = А при 1 -> оо (рис. 1.9).

Рис. 1.9.

Поведение различных решений уравнения (I) может быть кратко охарактеризовано с помощью фазовой диаграммы. Стоящая в правой части (1) функция.

положительна при х < А и отрицательна при х > А. Это соответствует тому факту, что решения, начинающиеся и сверху от линии х = А, и снизу от этой линии, асимптотически приближаются к ней при неограниченном росте t. Это символически показано стрелками на диаграмме (рис. 1.10).

Рассмотрим теперь уравнение.

где x (t) может иметь смысл численности популяции, а (3 и 5 соответствуют количеству рождений и смертей в единицу времени. В более общем случае, когда эти коэффициенты зависят от х, уравнение записывается в виде.

в котором различные выражения для /(х) соответствуют различным моделям численности популяций.

С математической точки зрения (6) — это так называемое автономное дифференциальное уравнение первого порядка, в которое независимая переменная t не входит явно. Как и в случае урав;

нения (1), решения, соответствующие условию /(х) = 0, называются критическими точками автономного дифференциального уравнения.

Если х = с — критическая точка уравнения (6), то уравнение имеет постоянное решение х (/) = с, которое иногда называют равновесным решением. Качественное поведение различных решений автономного уравнения может быть описано в терминах его критических точек.

Рассмотрим, например, логистическое уравнение.

У этого уравнения имеются критические точки х = 0 и х = Л/, соответствующие уравнению.

Решение уравнения (7), соответствующее начальному условию х (0) = х₀, имеет вид.

Видно, что начальные условия Хо = О и Xq = М приводят к равновесным решениям (критическим точкам) х (/) = 0 и х (/) = М. Далее, при Xq > 0 справедливо.

Если х₀ < 0, то знаменатель в выражении (9) обращается в нуль при.

Это означает, что.

В результате мы приходим к картине поведения решений логистического уравнения, показанной на рис. 1.11.

Этот рисунок позволяет проиллюстрировать концепцию устойчивости (стабильности). Критическая точка х = с автономного дифференциального уравнения первого порядка называется устойчивой при выполнении условия: если начальное значение Xq достаточно близко к с, то x (t) остается близким к с для любого.

Рис. 1.11 Рис. 1.12.

t > 0. Более строго это условие формулируется следующим образом: критическая точка с устойчива, если для любого е > 0 существует такое 6>0, что при — с| < 6 выполняется неравенства |х (/) — с| < е для любого t > 0. В противном случае критическая точка х = с называется неустойчивой.

На рис. 1.12 представлено более «общее видение» решений логистического уравнения (7) при к = 1 и Л/= 4. Полоса 3,5 < х < 4,5, включающая в себя устойчивую равновесную кривую ;с = 4, действует как сток — кривые, соответствующие различным решениям уравнения, с увеличением времени входят в эту полосу и в дальнейшем остаются внутри нее. Наоборот, полоса -0,5 < х < 0,5, включающая в себя неустойчивую равновесную кривую х = 0, действует как источник — кривые, соответствующие различным решениям, покидают эту полосу и в дальнейшем остаются снаружи. Таким образом, критическая точка х = М устойчива, в то время как критическая точка х = 0 неустойчива.

Качественная картина поведения решений логистического уравнения (7) соответствует фазовой диаграмме, показанной на рис. 1.13. Из этой диаграммы следует, что.

если или Хо > Л/, или 0 < х₀ < М.

Далее,.

Важность и полезность понятия устойчивости равновесного решения логистического уравнения.

заключается в предсказуемости результата для реального поведения численности популяции, описываемой такой моделью. Сопоставляя уравнения (10) и (7), видим, что численность популяции М = а/b. Коэффициенты а и b в уравнении (10) не могут быть определены точно в случае реальной ситуации. Для них выбираются некоторые «правдоподобные» значения а и Ь. При этом приближенное значение М = а/b должно быть близким к реальному значению М = а/b. Таким образом, предельное значение численности популяции, предсказываемое уравнением (10), будет устойчивым по отношению к малым возмущениям значений коэффициентов a w Ь.

В случае модели, описывающей изменение численности популяции при охоте или рыболовстве, уравнение.

удобно переписать в виде.

где М — предельное значение численности популяции при с = 0, т. е. в отсутствие охоты или рыболовства. Полагая с > 0, легко найти значения двух критических точек Я и N как корней уравнения.

При достаточно малой квоте с, когда выполняется условие 4с < кМ², оба корня Я и Я положительны:

Имеем.

Это условие позволяет переписать уравнение (12) в виде.

Решение этого уравнения может быть представлено следующим образом:

Если х₀ > N, то x (t) -> N при t —" о®. Если Н < х₀ < N, то x (t) -> N при t -> оо. Если х₀ /, где значение /, > О зависит от значения х₀. Решения уравнения (12) при условии 4с < кМ² показаны на рис. 1.14. На рис. 1.15 показана фазовая диаграмма, иллюстрирующая устойчивую критическую точку х = N и неустойчивую критическую точку х = Я.

Остановимся теперь на еще одном методе нахождения вида кривых, соответствующих решениям дифференциальных уравнений, без явного их решения. Этот метод основан на использовании геометрических соображений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение.

не предполагая автономности этого уравнения, т. е. полагая, что стоящая в правой части функция /(х, /) может зависеть от времени явно. Если функция x (t) является решением уравнения (17) и ее график проходит через точку (/, х,) на (/, х)-плоскости, причем х, = x (f,), то из уравнения (17) следует, что производная dx/dt при t = ti равна значению функции /(х_ь /j). Геометрически эта производная соответствует касательной к графику функции х (() в точке с координатами и х,. Равенство dxjdt и/(х, /) должно выполняться для всех значений t, при которых х (/) удовлетворяет уравнению (17). Другими словами, значение функции /(х, t) в правой части уравнения определяет положение касательных во всех точках графика функции x (t), являющейся решением уравнения (рис. 1.16).

Рис. 1.14.

Это свойство позволяет ввести метод получения геометрической иллюстрации решений уравнения (17). Мы получаем возможность реализации весьма простого способа получения качественной картины кривых, соответствующих решениям уравнения, путем геометрического построения поля касательных. Это поле строится путем выбора точек на (/, х)-плоскости и вычисления значений функции /(х, /) в этих точ;

Рис. 1.15.

ках, которые определяют тангенсы угла наклона касательной к кривой x (t) в каждой точке (рис. 1.17).

Построив такие «миникасательные» в достаточном числе точек плоскости, т. е. построив поле касательных, мы получаем возможность качественно изобразить семейство кривых, соответствующих различным решениям уравнения. Очевидно, каждая кривая должна проходить таким образом, чтобы касательные к ней во всех точках совпадали по направлению с одной из «миникасательных» поля.

Для примера рассмотрим уравнение.

На рис. 1.18 представлено поле касательных этого уравнения, с помощью которого построены кривые для шести различных решений этого уравнения.

Особенно просто строится поле касательных для уравнений.

когда функция / в правой части зависит только от /, и для автономных уравнений вида.

В случае уравнений (19) наклон касательных к х (г) одинаков для всех точек, соответствующих одному и тому же значению /,.

Рис. 1.16 Рис. 1.17.

Рис. 1.18.

Рис. 1.19

т.е. «миникасательные», лежащие на одной вертикальной линии, параллельны между собой (рис. 1.19). Поле касательных и кривые нескольких решений для уравнения.

показаны на рис. 1.20. Эти кривые представляют собой параболы х = t² +с, в чем легко убедиться, найдя общее решение уравнения (21).

В случае автономных уравнений (20) наклон касательных одинаков для всех точек, лежащих на горизонтальных прямых, соответствующих одному и тому же значению х (рис. 1.21). Поле касательных и несколько кривых, соответствующих решениям логистического уравнения.

показаны на рис. 1.22. «Миникасательные» направлены горизонтально для значений х = 0 и х = 1, соответствующих нулям функции, стоящей в правой части (22). Эти значения определяют рав;

Рис. 1.23.

Рис. 1.22.

новесные решения уравнения. Выше и ниже обеих равновесных кривых все решения являются убывающими функциями г, а между кривыми — возрастающими. В этом легко убедиться как с помощью картины поля касательных, так и с помощью знаков правой части в (22) в областях соответствующих значений х.

Для построения диаграммы для автономного дифференциального уравнения.

необходимо знать положение критических точек (т.е. равновесные решения (23)) и интервалы, в которых функция /(х) положительна и отрицательна. Поэтому информация о свойствах решений уравнения (23) может быть получена и в случаях, когда нам известна только качественная картина поведения функции /(х).

Рассмотрим пример, когда информация о функции /(х) ограничена только качественным видом ее графика (рис. 1.23). На рис. 1.24 показана диаграмма, для построения которой достаточно учесть только знаки/(х) в промежутках между ее корнями а, b и с (см. рис. 1.23). Диаграмма позволяет изобразить качественную картину поведения решений уравнения (рис. 1.25), которая получается без необходимости записывать хотя бы одну формулу.

При построении фазовых диаграмм необходимо следить за тем, чтобы рассматривать только значения х, лежащие в области определения функции /(х). Например, для дифференциального уравнения.

f (x) отрицательна при х 1. Однако значение х = 1 лежит вне области определения этой функции. В результате на фазовой диаграмме появляется «выколотая» точка х= 1, показанная светлым кружком на рис. 1.26. Все решения уравнения (24) стремятся к значению х= 1 с ростом времени. Абсолютная величина х неограниченно возрастает при приближении x (t) к значению х = 1, поэтому решения до- ^Рис* ^1,25 стигают этого значения за конечное.

время.

Однако при достижении этого значения решения не могут быть продолжены, так как они покидают область определения Дх).

Геометрическую иллюстрацию поведения решений можно получить и для системы двух дифференциальных уравнений, но только в том случае, когда эти уравнения автономны:

Функции Дх, у) и g (x, у) не зависят от времени явно. С помощью правых частей системы (25) можно определить статическое векторное поле.

Рис. 1.26.

где /' и J — единичные векторы, направленные вдоль осей х и у соответственно. Производная векторного решения R (x, y) системы уравнений (25), соответствующего кривой решения (x (t), y (t)) на (х,^{-плоскости,} равна F (x, у), т. е. направлена в каждой точке плоскости по касательной к этой кривой:

Кривая решения называется фазовым портретом рассматриваемой системы.

По определению векторы в векторном поле (26) имеют разную длину, что затрудняет построение наглядной картины поля. Поэтому обычно строят векторы поля (26), считая их длину одинаковой. Поле в этом случае называется нормализованным или полем направлений, связанным с исходным векторным полем (26). Кривые решений при такой модификации поля не изменяются, поскольку не происходит изменения направлений «миникасательных» к кривой, соответствующей решению системы (25). Однако теперь в картине поля полностью теряется информация о скорости решения, поскольку длина вектора поля (26) определяет эту скорость при прохождении решения через рассматриваемую точку плоскости (дс, у).

Более подробную информацию о методах исследования свойств решений дифференциальных уравнений, не связанных с их непосредственным аналитическим или численным решением, можно найти в книгах, посвященных качественной теории дифференциальных уравнений.

Задачи и упражнения

• 1. Получите решение (9) уравнения (7).
• 2. Получите решение (16) уравнения (15).
• 3. Определите критические точки уравнений

и исследуйте их устойчивость качественными методами. Найдите аналитические решения этих уравнений и проверьте свои результаты.

• 4. Предположите в уравнении (12) к = 1, М = 4 для численности x (t) популяции рыб в озере в логистической модели без рыболовства, измеряемой в сотнях экземпляров по истечении t лет. Пусть с = 3, что в принятых единицах означает ежегодный отлов 300 рыб. Определите критическое значение Н численности популяции рыб и ее новое предельное значение N. *1то случится, если по какой-либо причине численность популяции в какой-либо момент времени окажется равной 75 рыбам?
• 5. Исследуйте зависимость от времени численности популяции, моделируемой уравнением

Определите характерные величины методом качественного анализа. Найдите решение этого уравнения.

6. Рассмотрите два дифференциальных уравнения:

с критическими точками я, Ь и с (а < b < с). С помощью диаграмм определите устойчивость этих точек для каждого уравнения. Нс решая уравнений непосредственно, изобразите качественную картину поведения решений х (/).

7. Проанализируйте с помощью качественных методов свойства модельных решений, рассматриваемых в подразд. 1.1 и 1.2.

Рисунок к задаче 8.

8. На рисунке показан график решения уравнения.

• а) С какой степенью подробности можно построить поле касательных для этого уравнения?
• б) Что можно сказать о решении с начальным условием *(0) = 2?
• 9. Покажите, что векторы векторного поля F (x, у) — уТ — х] касательны к окружностям в (х,^{-плоскости,} центрированным в начале системы координат.

Литература

: [19], [22].