Планы для изучения поверхности отклика

Поверхность отклика аппроксимируется наиболее эффективным образом, если уделить должное внимание выбору плана эксперимента.

Предположим, что необходимо на основе экспериментальных данных подобрать модель первого порядка с к переменными.

Существует единственный класс планов, минимизирующих дисперсию коэффициентов регрессии {р_;}, —это ортогональные планы первого порядка. План первого порядка ортогонален, если все недиагональные элементы матрицы Х^ТХ равны нулю, что означает равенство нулю суммы смешанных произведений столбцов матрицы X.

В класс ортогональных планов первого порядка входят факторные планы типа 2^к и те их дробные реплики, в которых главные эффекты не являются совместными друг с другом. При использовании этих планов предполагается, что к факторов кодированы к стандартным уровням ±1. Пусть, например, используется план 2³ для подбора модели первого порядка у = р₀ + Pi*i + Рл + Рз*з ^{+ е}> тогда матрица.

Легко проверить, что недиагональные элементы X ^ГХ для рассматриваемого плана равны нулю. План типа 2^к не позволяет оценить ошибку эксперимента, поэтому необходимо повторить некоторые из измерений. Распространенным методом включения реплик в план типа 2^к является его дополнение несколькими наблюдениями в центре (точке х, = 0, i = 1, 2,…, к). Введение центральных точек в план типа 2^{, с}не влияет на {(3,} при i > 1; оценка же Р₀ становится средним арифметическим всех наблюдений. В примере 5.13 иллюстрировалось использование плана 2² с добавлением пяти центральных точек при подборе модели первого порядка. Другим ортогональным планом первого порядка является симплекс. Симплекс представляет собой правильную фигуру с к + 1 вершиной в /с-мерном пространстве. Так, при к = 2 симплексный план — равносторонний треугольник, а при к = 3 — правильный тетраэдр.