Корреляционно-регрессионные модели. 
Логистика снабжения

Корреляционнорегрессионный анализ является классическим методом вероятностного моделирования, который изучает взаимосвязи показателей хозяйственной деятельности предприятия, когда зависимость между ними не является строго функциональной или искажена влиянием посторонних, случайных факторов. В результате осуществляется поиск и оценка тесноты связи между двумя случайными признаками или факторами (корреляционный анализ), а в дальнейшем устанавливается конкретный вид зависимости между исследуемыми параметрами (регрессионный анализ).

В качестве факторов, оказывающих прямое или опосредованное влияние на изменение потребительского спроса, можно отметить:

• — уровень инфляции как в отдельных регионах, так и по стране в целом;
• — уровень платежеспособности населения;
• — процентные ставки по потребительским кредитам;
• — расходы на рекламу;
• — активность конкурентов;
• — социально-демографические факторы (в том числе миграция);
• — объемы производства по видам продукции;
• — климатические условия и др.

Среди основных задач корреляционно-регрессионного анализа в логистике снабжения можно выделить следующие:

• — поиск и оценка тесноты связи объемов продаж с одним или несколькими из вышеуказанных факторов для формирования корректных планов по обеспечению потребности в запасах;
• — определение степени соответствия политики снабжения и продаж путем сопоставления динамики поступления и расходования ресурсов в складском хозяйстве предприятия при проведении аудита существующей системы управления запасами;
• — прогнозирование и бюджетирование косвенных затрат, связанных с запасами, при планировании закупок и др.

В настоящее время известно много различных показателей, отражающих тесноту статистической связи двух рядов. Обычно они разделяются на параметрические, применение которых предполагает знание теоретического (как правило, нормального) закона распределения, и непараметрические, не требующие выполнения данного условия. Среди непараметрических критериев связи можно выделить коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, коэффициент корреляции знаков Фехнера и др.

Наибольшее распространение среди параметрических критериев получил линейный коэффициент парной корреляции Пирсона:

(5.13).

где хt, уt — значения параметров, теснота связи между которыми оценивается в момент времени - средние значения статистических рядов параметров х и у, п — длина статистических рядов параметров х и у, ?x и? y — среднеквадратические отклонения статистических рядов параметров х и у.

Данный коэффициент показывает, насколько ярко выражена тенденция к изменению одной переменной при изменении другой, и находится в диапазоне -1? r? +1. В крайних случаях, при r = ±1, связь между х и у становится функциональной, а нулевое значение коэффициента корреляции (r = 0) обозначает полную независимость переменных x и у друг от друга и отсутствие какой-либо связи между ними. При r > 0 связь между х и у прямая, т. е. обе величины одновременно убывают или возрастают. Если r < 0, то связь между х и у обратная, т. е. с возрастанием одной величины другая убывает. Иными словами, промежуточные значения коэффициента корреляции (исключая крайние случаи) говорят, что тенденция к изменению одной переменной при изменении другой выражена не очень явно, но в какой-то степени она присутствует. То есть можно говорить о наличии между рассматриваемыми переменными стохастической (вероятностной) связи.

При построении графиков соответствия (рис. 5.7) в случае функциональной зависимости сопоставляемых переменных облако точек вырождается в прямую линию, наклоненную под некоторым углом к оси ОХ, а при полном отсутствии какой-либо связи — в круг или квадрат.

Для оценки достоверности рассчитываемых коэффициентов корреляции при сравнении достаточно длинных временных рядов может быть использована формула Романовского:

(5.14).

Доверительные интервалы при заданном уровне значимости (а) и количества степеней свободы () определяются с использованием t-статистики Стьюдента () (см. табл. 1 Приложения). Если , то коэффициент корреляции значим.

Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между сопоставляемыми параметрами. В общем случае, при , можно говорить о наличии достаточно тесной связи, что дает возможность построения адекватных корреляционно-регрессионных моделей для целей прогнозирования.

Пример

Мелкооптовое предприятие, осуществляющее свою деятельность на рынке консервной продукции, определяет степень зависимости продаж говядины тушеной, высшего сорта, в банках массой нетто 338 г., выпущенной по ГОСТ 5284–84, от индекса инфляции за соответствующий период (табл. 5.7).

Таблица 5.7

Объем продаж говядины тушеной и индексы инфляции за период январь 2009 — февраль 2012 г.

Коэффициент корреляции статистики рядов продаж и индекса инфляции (г), рассчитанный по формуле (5.13), с учетом (5.14) составил 0,111, что может говорить об очень слабой взаимозависимости указанных параметров, использование которой для целей прогнозирования может дать слишком неточные результаты. Графическая интерпретация приведенных данных представлена на.

Рис. 5.7. График соответствия объемов продаж говядины тушеной и индексов инфляции за период январь 2009 — февраль 2012 г.

Облако точек на графике выродилось в некую бесформенную фигуру, что наглядно подтверждает произведенные вычисления.

Простейшей математической моделью, использующей тесноту связи между двумя переменными, является линейная регрессия:

(5.15).

где - коэффициент, характеризующий угол наклона линии регрессии к оси ОХ;  — коэффициент, характеризующий расстояние от линии регрессии до оси ОХ; х, — известная переменная (предиктор), взятая в момент времени t; у, — неизвестная или прогнозируемая переменная (предиктант), взятая в соответствующий момент времени t; и - средние значения статистических рядов сопоставляемых переменных; r — коэффициент корреляции; и - среднеквадратические отклонения статистических рядов сопоставляемых переменных; п — длина статистических рядов.

Используя данную модель, можно по имеющимся исходным (планируемым) данным предсказывать неизвестные заранее значения, учитывая наличие достаточно тесной связи между связываемыми переменными.

В качестве критерия точности уравнения регрессии используется среднеквадратическое отклонение между фактическими () и рассчитанными значениями ():

(5.16).

Рассмотрим возможность применения линейной регрессии двух переменных для целей прогнозирования.

Пример

Предприятие разрабатывает стратегические планы по увеличению объема продаж и составляет бюджет закупок на следующий год. Для обеспечения продаж необходимо закупить запасов на 100 млн руб. (прямые материальные затраты), что на 30 млн руб. больше последнего прошлогоднего значения. Затраты, связанные с поддержанием запаса на собственном складе, относятся к условно-постоянной (косвенной) категории, и поэтому степень их изменения заранее неизвестна, она и является искомой величиной (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Статистика по объемам закупок и соответствующим им затратам на поддержание запасов на собственном складе

Для решения задачи построим уравнение регрессии, отражающее статистическую связь между затратами на закупку запасов и стоимостью их содержания на собственном складе. Коэффициент корреляции рядов затрат составил 0,942, что говорит о сильной взаимосвязи указанных параметров, которую можно использовать для целей планирования условно-постоянных расходов на следующий год. Рассчитаем коэффициенты а и Ь, входящие в формулу (5.15), и подставим их в уравнение регрессии:

Подставим вместо t 2013;й год:

Таким образом, затраты на содержание запасов на собственном складе при объеме закупок 100 млн руб. в 2013 г. составят 3,9 млн руб., а общий бюджет закупок — (100 + 3,87) = 103,87 млн руб.

Данная задача может быть решена графически. Для чего на основании данных прошлых лет (см. табл. 5.8) необходимо построить график соответствия затрат на поддержание запаса от соответствующих им прямых материальных затрат, после чего аппроксимировать поле образовавшихся точек линией регрессии, используя метод наименьших квадратов (рис. 5.8). По такому графику можно определить, на какую величину изменятся условно-постоянные затраты при соответствующем увеличении объема закупаемых запасов.

Рис. 5.8. Определение зависимости различных статей затрат, связанных с запасами, регрессионным методом.

Выберем на оси ОХ две точки, соответствующие объему закупок в 30 и 70 млн руб. Опустим перпендикуляры, через аппроксимирующую линию на ось ОY, на которой отложены косвенные расходы. Получаем, что при увеличении стоимости закупаемого запаса на 40 млн руб. косвенные расходы возрастают на 1,2 млн руб., таким образом.

Следовательно, чтобы определить, какими будут затраты на поддержание запаса при росте объема закупок с 70 до 100 млн руб., необходимо произвести следующие вычисления: 30 млн руб. • 3% = 0,9 млн руб. Тогда общий бюджет закупок в соответствии со стратегическими планами предприятия увеличится на сумму 30,9 млн руб. и составит: (70 + 30 + 3,0 + 0,9) = 103,9 млн руб.

Существует много различных вариантов регрессии, но в основе каждой из них лежит построение модели, связывающей предсказываемую величину с известными параметрами, сведя возможную ошибку к минимуму.

Часто в логистике снабжения, особенно для сезонных товаров, приходится иметь дело с процессами, протекающими не синхронно (синфазно), а с некоторой разностью во времени. Стандартным методом оценки тесноты связи двух переменных, отнесенных к разным моментам времени, является взаимнокорреляционная функция (ВКФ). Чтобы получить значение ВКФ, один статистический ряд поочередно смещают относительно другого на некоторый временной интервал (сдвиг), рассчитывая каждый раз при этом коэффициент корреляции. Временной сдвиг (?i), при котором коэффициент корреляции принимает максимальное значение, называют оптимальным сдвигом, определяя при этом среднюю разность фаз между исследуемыми процессами:

(5.17).

(5.18).

Пример

При проведении аудита существующей системы управления запасами говядины тушеной, высшего сорта, в банках массой нетто 338 г (ГОСТ 5284−84), аналитики произвели сопоставление динамики отгрузок со склада предприятия с динамикой поступления (табл. 5.9).

Таблица 5.9

Статистика поступления и отгрузок со склада говядины тушеной за период январь 2009 — февраль 2012 г.

Сопоставление динамики отгрузок и поступлений наглядно показывает степень соответствия политики закупок и продаж в компании. Кроме того, при достаточной степени соответствия этих видов деятельности возможно на основе планов продаж в будущем рассчитывать необходимую потребность в ресурсах в логистике снабжения.

Для первого случая, где ряды поступления и отгрузок сопоставляются без сдвига, коэффициент корреляции составляет 0,358, что может характеризовать связь между исследуемыми параметрами как недостаточную (слабую), требующую увеличения степени взаимодействия служб снабжения и продаж в рамках планирования потребности (см. график динамики и соответствия на рис. 5.9).

Рис. 5.9. Динамика поступлений и отгрузок говядины тушеной и график соответствия.

Однако при сдвиге рядов друг относительно друга на 1 мес. (сопоставляется поступление января к отгрузкам февраля и т. д.) коэффициент корреляции увеличивается до 0,799, а при сдвиге на 2 мес. уменьшается до 0,538 (рис. 5.10). Таким образом, максимум взаимной корреляционной функции соответствует оптимальному сдвигу в 1 мес. при достаточно высоком значении коэффициента корреляции. Это может говорить о том, что в компании действует политика обеспечения потребности в запасах на месяц вперед, т. е. планируемые объемы продаж на февраль служба снабжения обеспечивает в январе.

Рис. 5.10. Динамика поступлений и отгрузок говядины тушеной и график соответствия со сдвигом один месяц.

С учетом сроков годности говядины тушеной (3−4 года) и относительно низкой себестоимости одной банки можно сделать вывод, что такая политика может быть оправданна.