Устойчивость периодических решений автономных систем

Как уже говорилось, если у автономной системы есть периодическое решение ф{Ь) (замкнутая траектория, цикл), то исследование ее устойчивости по Ляпунову можно осуществить с помощью замены у = х — 4>{t). Редуцированная система окажется периодической, и для нее можно исследовать на устойчивость нулевое решение. Однако, к сожалению, такое исследование зачастую не имеет смысла: уже на примере системы, фазовый портрет которой нарисован на рис. 23.1, видно, что из-за неизохронности (которая, как правило, имеет место) решения, двигающиеся по близким траекториям, возвращаются в исходную точку через разное время, и это регулярно повторяемое запаздывание приводит к тому, что устойчивости в смысле Ляпунова у таких решений, как правило, нет.

Здесь «накладываются» друг на друга несколько эффектов. Во-первых, из-за автономности системы наряду с периодическим решением x (t) всегда будут наличествовать также решения x (t + a), которые тоже являются периодическими, идут по той же траектории, но только чуть раньше или чуть позже. Поскольку разность между ними не может стремиться к нулю (это ведь периодическая функция), разговаривать об асимптотической устойчивости вообще пе приходится. Устойчивость «простая» (по Ляпунову) у периодического решения может наблюдаться, только если периодическая траектория является устойчивым предельным циклом¹¹. Если же вблизи нее есть другие циклические траектории эффект неизохронности разрушает вообще всякую надежду на ляпуновскую устойчивость.

Для того, чтобы все-таки описать устойчивость периодических решений в разумных терминах, обычно вводят так называемую орбитальную устойчивость близость траекторий как множеств. Случай орбитальной асимптотической устойчивости исследован Андроновым¹² и^[1]

Виттом¹³, их теорему интересующиеся могут посмотреть в [32], [23].

В случае же, когда циклы образуют семейство, зависящее от параметра (как на рис. 23.1), для обоснования орбитальной устойчивости необходимо вводить аналог функции Ляпунова, измеряющей расстояние от произвольной точки из Л^[2] до заданной траектории (на траектории функция должна быть, естественно, нулем). Другой способ исследования этой ситуации «выравнивание*¹ периодов (т.е. превращение системы в изохронную) за счет того, что, вообще говоря, можно менять систему, сохраняя фазовый портрет, но влияя на периоды обращения по траекториям.

Задания для самостоятельной работы.

• 1. Проведите доказательство третьего случая в теореме о функции Ляпунова (неустойчивость).
• 2. Докажите теорему для нулевого решения неавтономной системы.

Каверзные вопросы.

• 1. Как будут выглядеть аналоги теорем 29.1−29.3 для локальной устойчивости нулевого решения? Что изменится в доказательствах?
• 2. В теореме Ляпунова для асимптотической устойчивости требуется строгая положительность производной в силу системы. Можно ли ослабить это условие, разрешив просто неотрицательность, но снабдив ее каким-нибудь ограничивающим (например, интегральным) условием?
• 3. Пусть система х — f (x, y), y — g{x, y) является гамильтоновой.

Это означает, что для некоторой функции Н (х, у) справедливо f (x, y) — dH (x, y)/dy, у (х, у) — -дН (х, у)/дх. Правда ли, что фазовые траектории являются линиями уровня функции Н (х, у)3 Пусть фазовые траектории замкнуты, 7е фазовая траектория, лежащая на линии уровня Н (х, у) = Е. S{E) охватываемая ею площадь на фазовой плоскости, Т (Е) соответствующий период. Верно ли, что dS (E)/dE — Т (Е)‘!

4. Попробуйте разработать теорию устойчивости для периодических решений автономных систем.

• [1] Это означает, что другие траектории не просто близки к ней, а приближаютсяпри t —> +оо. '^Александр Александрович Андронов (1901 1952) советский физик, механики математик. Профессор Горьковского университета. Основные работы относятся к
• [2] 2 динамике машин, теории колебаний и теории автоматического регулирования. Им создана теория автоколебаний, разработан математический аппарат этой теории, позволивший реши ть ряд задач теоретической радиотехники, теории хода часов, теорииавтоматического регулирования. 1,!Александр Адольфович Витт (1902 1937) советский физик, один из основателей школы специалистов в области нелинейной теории колебаний. Совместно сА. А. Андроновым создал строгую ма тематическую теорию автоколебаний и заложилосновы статистической теории автоколебательных систем.