Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

Π£ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ пСриодичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… систСм

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Н (Ρ…, Ρƒ) справСдливо f (x, y) — dH (x, y)/dy, Ρƒ (Ρ…, Ρƒ) — -дН (Ρ…, Ρƒ)/Π΄Ρ…. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ линиями уровня Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Н (Ρ…, Ρƒ)3 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹, 7Π΅ фазовая траСктория, лСТащая Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ уровня Н (Ρ…, Ρƒ) = Π•. S{E) охватываСмая Сю ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½Π° Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости, Π’ (Π•) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dS (E)/dE — Π’ (Π•… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π£ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ пСриодичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… систСм (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Как ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ссли Ρƒ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ систСмы Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСриодичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„{Π¬) (замкнутая траСктория, Ρ†ΠΈΠΊΠ»), Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΡƒΡΡ‚ойчивости ΠΏΠΎ Π›ΡΠΏΡƒΠ½ΠΎΠ²Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Ρƒ = Ρ… — 4>{t). РСдуцированная систСма окаТСтся пСриодичСской, ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Однако, ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ исслСдованиС Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла: ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ систСмы, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ нарисован Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 23.1, Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° нСизохронности (которая, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ траСкториям, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ врСмя, ΠΈ ΡΡ‚ΠΎ рСгулярно повторяСмоС Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ устойчивости Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ Ляпунова Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π΅Ρ‚.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ «Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ся» Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° нСсколько эффСктов. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΈΠ·-Π·Π° автономности систСмы наряду с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x (t) всСгда Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ x (t + a), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (это вСдь пСриодичСская функция), Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСской устойчивости Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΏΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…одится. Π£ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ «ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ая» (ΠΏΠΎ Π›ΡΠΏΡƒΠ½ΠΎΠ²Ρƒ) Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли пСриодичСская траСктория являСтся устойчивым ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ11. Если ΠΆΠ΅ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π½Π΅Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ цикличСскиС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ эффСкт нСизохронности Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΡΡΠΊΡƒΡŽ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π° Π»ΡΠΏΡƒΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΡƒΡŽ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ пСриодичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ…, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ вводят Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ мноТСств. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотичСской устойчивости исслСдован Андроновым12 ΠΈ[1]

Π’ΠΈΡ‚Ρ‚ΠΎΠΌ13, ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π² [32], [23].

Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ†ΠΈΠΊΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ сСмСйство, зависящСС ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° (ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 23.1), для обоснования ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ устойчивости Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ляпунова, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· Π›[2] Π΄ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ (Π½Π° Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ функция Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, СстСствСнно, Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ исслСдования этой ситуации «Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅*1 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² (Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π² ΠΈΠ·ΠΎΡ…Ρ€ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ) Π·Π° ΡΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ систСму, сохраняя Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ Π²Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ обращСния ΠΏΠΎ Ρ‚раСкториям.

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

  • 1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ случая Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ляпунова (Π½Π΅ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ).
  • 2. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ для Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

ΠšΠ°Π²Π΅Ρ€Π·Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

  • 1. Как Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ 29.1−29.3 для локальной устойчивости Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ? Π§Ρ‚ΠΎ измСнится Π² Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°Ρ…?
  • 2. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Ляпунова для асимптотичСской устойчивости трСбуСтся строгая ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΈΠ»Ρƒ систСмы. МоТно Π»ΠΈ ΠΎΡΠ»Π°Π±ΠΈΡ‚ΡŒ это условиС, Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² просто Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ ΡΠ½Π°Π±Π΄ΠΈΠ² Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ) условиСм?
  • 3. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ систСма Ρ… — f (x, y), y — g{x, y) являСтся Π³Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Н (Ρ…, Ρƒ) справСдливо f (x, y) — dH (x, y)/dy, Ρƒ (Ρ…, Ρƒ) — -дН (Ρ…, Ρƒ)/Π΄Ρ…. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ линиями уровня Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Н (Ρ…, Ρƒ)3 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹, 7Π΅ фазовая траСктория, лСТащая Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ уровня Н (Ρ…, Ρƒ) = Π•. S{E) охватываСмая Сю ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½Π° Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости, Π’ (Π•) ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dS (E)/dE — Π’ (Π•)β€˜!

4. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ устойчивости для пСриодичСских Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… систСм.

  • [1] Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ, Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚сяпри t —> +ΠΎΠΎ. '^АлСксандр АлСксандрович Андронов (1901 1952) совСтский Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ. ΠŸΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΎΡ€ Π“ΠΎΡ€ΡŒΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ относятся ΠΊ
  • [2] 2 Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ машин, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ автоматичСского рСгулирования. Им ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Π° тСория Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ матСматичСский Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, позволивший Ρ€Π΅ΡˆΠΈ Ρ‚ΡŒ Ρ€ΡΠ΄ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ тСорСтичСской Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΎΡ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ…ΠΎΠ΄Π° часов, тСорииавтоматичСского рСгулирования. 1,!АлСксандр ΠΠ΄ΠΎΠ»ΡŒΡ„ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ Π’ΠΈΡ‚Ρ‚ (1902 1937) совСтский Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ спСциалистов Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. БовмСстно сА. А. Андроновым создал ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³ΡƒΡŽ ΠΌΠ° Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ статистичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм.
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ