Типы учебных текстов, способствующих обогащению метакогнитивного опыта учащихся в курсе математики 5—9

Знание некоторых принципов возмещает незнание некоторых фактов.

К. Гельвеций

В данной главе рассматриваются типы учебных текстов, которые предназначены для формирования у учащихся способности управлять собственной интеллектуальной деятельностью («дисциплины ума», по Д. Дьюи). «Когда дисциплина понимается в интеллектуальном смысле (как привычная способность успешного умственного движения), она отождествляется со свободой в истинном смысле этого слова. Ибо свобода ума означает умственную способность к независимым упражнениям, эмансипировавшуюся от руководства других, а не только беспрепятственную внешнюю деятельность» (Дьюи, 1997, с. 66).

Можно выделить четыре типа ментальных структур в рамках метакогнитивного опыта, обеспечивающих различные формы саморегуляции интеллектуальной активности: непроизвольный интеллектуальный контроль, произвольный интеллектуальный контроль, метакогнитивную осведомленность и открытую познавательную позицию (Холодная, 1997; 2002). Данная глава посвящена обсуждению основ конструирования типов учебных текстов, направленных на развитие умений планировать интеллектуальную деятельность, прогнозировать свои интеллектуальные действия и изменения в проблемной ситуации, контролировать собственную интеллектуальную деятельность, рост метакогнитивной осведомленности (представлений о своих индивидуальных интеллектуальных возможностях), формирование открытой познавательной позиции.

Умение планировать интеллектуальную деятельность по решению математических проблем

Одним из важнейших качеств интеллектуальной деятельности является умение планировать: выдвигать цели и подцели собственной интеллектуальной деятельности, продумывать средства их реализации, выстраивать последовательность собственных действий и т. д.

Анализируя особенности создания развивающей среды в условиях семейного воспитания, Дж. Равен отмечает положительное влияние на развитие интеллекта ребенка обстоятельств, когда родители «направляли детей на то, чтобы они ставили перед собой цели, поощряли их за это, планировали последовательность действий, необходимых для их достижения, и контролировали выполнение этих действий. Они учили детей думать и говорить об их деятельности, обсуждали с ними их планы, их опыт, вместе обдумывали то, что произошло, и помогали понять, что было неправильно и как в следующий раз сделать лучше» (Равен, 2002, с. 206).

Практика школьного обучения показывает, что многие учащиеся не испытывают потребности в проведении обоснований своих решений, анализе шагов собственной деятельности. Приведем пример из проведенного нами исследования.

Учащимся было предложено задание: «Построить график квадратичной функции, который равен графику функции у = 2х² и имеет вершину в точке 0 (—3; 4)». 55% учащихся (из 300 человек) не увидели, что все сведения, необходимые для построения графика, уже даны. Они стремились вернуться к стандартной ситуации: получали уравнение соответствующей квадратичной функции, выделяли квадрат двучлена и т. д. То есть их действия носили хаотичный характер, не были опосредованы анализом цели предстоящей деятельности и пониманием назначения отдельных этапов построения графика функции.

Возникает необходимость специальной работы по развитию у учащихся способностей к планированию собственной интеллектуальной деятельности, в том числе средствами специально сконструированных учебных текстов. Нами разработана система текстов и заданий, направленных на формирование умения планировать свою интеллектуальную деятельность.

Ключевую роль в развитии умения планировать играют процессы целеполагания. Они способствуют мотивации деятельности учащихся, созданию у них целостного образа предстоящей работы, дают возможность определить собственную траекторию обучения. Отмечая значение умения целеполагания для учебной деятельности, А. 3. Рахимов пишет, что «…на основе этого действия учащийся должен сам ответить на вопрос: „Что я должен сделать для того, чтобы решить поставленную задачу в курсе, разделе или теме?“» (Рахимов, 1991, с. 29). Э. Элберс подчеркивает, что учащимся нужно взять ответственность за собственное обучение. Поэтому учебные тексты должны стимулировать к выдвижению целей изучения математики и их обсуждению (Elbers, 2001).

Рассмотрим некоторые типы учебных текстов, которые направлены на включение учащихся в процедуру постановки целей собственной интеллектуальной деятельности.

К типам учебных текстов, дающих возможность определить цели изучения темы, относятся: «текст — программа», «текст — выбор цели», «текст — проблематизация».

«Текст — программа» содержит не только постановку общей цели предстоящей деятельности, но и ее подцели. Чаще всего он является началом изучения темы. Рассмотрим такие тексты на примере темы «Квадратные уравнения» (8-й класс).

При решении текстовой задачи учащиеся получили квадратное уравнение. У них уже имеется опыт работы с линейными уравнениями, с уравнениями, решение которых основано на знании понятий, входящих в них, или на свойствах данных понятий. Теперь учащимся предстоит использовать этот опыт и составить программу изучения нового вида уравнений.

Текст — программа начинается с обращения к учащимся с просьбой определить цель предстоящей работы, опираясь на свой прошлый опыт. Просьба составить текст в виде вопросов стимулирует интеллектуальную деятельность школьников. После самостоятельной работы над составлением плана учащиеся могут сравнить результат своей работы с текстом, который предлагают авторы.

Используя свой опыт работы с уравнениями, попробуйте составить план изучения квадратных уравнений. Предлагаем оформить его в виде вопросов и сравнить с теми вопросами, которые сформулированы в тексте учебника.

Как «узнать» квадратное уравнение?

Какие методы можно применять при решении квадратных уравнений?

Как узнать, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько?

Обязательно ли для этого решать уравнение?

Решение каких уравнений можно свести к решению квадратных?

В каких задачах могут возникать квадратные уравнения?

(Квадратные уравнения, 2002, с. 13.).

Как показывает опыт, работа по составлению плана может быть проведена следующим образом. Учащимся предлагается составить свои вопросы на отдельных листочках, работая по одному или в группах. Затем результаты данной работы фиксируются на доске. Они сравниваются с теми, что имеются в книге. Так, в ходе совместной деятельности возникает программа изучения темы. Она может быть конкретизирована каждым учеником. Более того, появляется возможность увидеть в самом общем виде и средства ее реализации. В частности, учащимся предлагается познакомиться с содержанием темы, которую предстоит изучить.

Полистайте книгу, посмотрите оглавление. В каких, на ваш взгляд, параграфах содержится материал, необходимый для ответа на тот или иной поставленный вопрос? Составьте свой план изучения темы.

(Квадратные уравнения, 2002, с. 13—14.).

Итак, текст — программа может состоять из следующих частей: постановка перед учащимися проблемы поиска целей, например, через анализ прошлого опыта; представление для сравнения варианта таких целей в учебном тексте; создание условий для выбора учащимися индивидуального плана изучения соответствующего учебного материала. Методический прием составления текстов — программ — это постановка заданий общего характера: «Составьте план работы», «Сравните свой план изучения темы с планом другого ученика», «Закончите составление плана на основе его начала».

Мы считаем, что такое введение в тему определяет отношение ученика к процессу ее изучения, нацеливает его на самостоятельность, создает условия для выбора индивидуальной траектории изучения предложенного учебного материала.

Рассматривая технологию образовательного целеполагания, А. В. Хуторской пишет: «Хорошо понятая и обозначенная цель „наводит“ на соответствующий результат того, кто ее сформулировал. Часто цели, декларируемые в учебных программах, существенно отличаются от реальных жизненных ориентиров учащихся, что является причиной рассогласования желаемого и действительного в обучении. Чтобы предупредить это нежелательное явление, необходимо с начала изучения курса, раздела темы вводить учащихся в процедуру образовательного целеполагания» (Хуторской, 2001, с. 268).

А. В. Хуторской считает, что одним из путей проектирования индивидуальных траекторий обучения в теме является диагностика учебных целей. Так, например, ученикам-старшеклассникам предлагается список целей, в котором каждый ученик отмечает самые главные для него:

• • Изучить материал учебника.
• • Усвоить основные понятия и законы темы.
• • Подготовить доклад по одной из проблем (указать).
• • Качественно подготовиться к зачету (контрольной работе, экзамену) .
• • Выполнить самостоятельное исследование по выбранной теме (указать).
• • Овладеть методами изучения и объяснения изучаемых в теме явлений.
• • Углубленно рассмотреть конкретные вопросы темы (перечислить их).

• • Научиться выполнять опыты, работать с приборами и техническими средствами.
• • Проявить и развить свои способности (назвать их).
• • Организовать свою учебу по выбранной теме (поставить достижимые цели, составить реальный план, выполнить его и оценить свои результаты).
• • Научиться аргументированно спорить.
• • Хорошо сдать зачет.
• • Научиться решать задачи и проблемы по теме.
• • Свой вариант цели.

В данном случае ученики не формулируют цели, а составляют свою иерархию целей из предложенного учителем набора. Такой подход позволяет получить обобщенные данные по доминирующим направлениям целеполагания в классе или группе учеников (там же).

После анализа полученных от учеников данных учитель имеет полную картину ученических предпочтений, с учетом которых формулирует приоритетные цели обучения.

В разработанных учебных текстах МПИ-проекта выбор учащимися целей изучения темы может осуществляться через перебор возможных целей в рамках такого типа текстов, которые можно назвать «текст — выбор цели». Такой случай целеполагания ранее был выделен В. В. Заботиным, когда исходная задача не требует постановки принципиально новой цели: «Необходимая и достаточная для данной ситуации цель входит в набор тех знакомых по своему типу целей, которыми располагает субъект и которые он должен уметь использовать сообразно возникающим ситуациям» (Заботин, 1975, с. 7).

Приведем фрагмент текста — выбора цели, вводящего учащихся в раздел «Решение систем нелинейных уравнений» в рамках темы «Квадратичная функция» (9-й класс). Цели предстоящей деятельности формулируются в виде перечня задач, поставленных относительно одного и того же математического объекта.

Посмотрите на рисунок. Какие задачи вы поставили бы, глядя на этот рисунок? Можно ли сформулировать их, например, так?

• 1. Найти координаты точек пересечения параболы и прямой.
• 2. Записать абсциссы точек пересечения графиков функций у = 0,4.x² — 0,6

.3.

и у = 4—х.

• 2
• 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой.
• 4. Определить длину отрезка, отсекаемого параболой от прямой.
• 5. Определить длину дуги параболы, отсекаемой прямой.

з.

6. Найти корни уравнения 0,4х²-0,6 = 4—х .

^3.

7. Указать множество решений неравенства 0,4х² — 0,6 < 4—х .

Г2х²-5у = 3,.

8. Решить систему уравнений.

[ Зх + 2у = 8.

9. Определить, сколько точек пересечения имеют парабола у = 0,4х² — 0,6.

. 3.

и прямая у = 4-—х .

В каких из этих задач встречается квадратичная функция?

Какие из данных задач вы уже решали (графически или аналитически)?

Какие задачи вы смогли бы решить, используя аналогию и известные вам методы решения других задач?

(Квадратичная функция, 2004, с. 216—217.).

Среди целей, подлежащих выбору, имеются и те, пути реализации которых известны учащимся, и те, которые на данном этапе изучения являются совершенно новыми, и те, которые дают возможность определять ближайшие направления деятельности. Поэтому последующий фрагмент текста позволяет подвести итоги осмысления учащимися возможных целей деятельности, приводящих к построениям, выполненным на данном рисунке, и выделить те, которые станут предметом изучения.

Среди сформулированных задач вы, наверное, обнаружили такие, которые решать уже умеете, причем не единственным способом. Нашли задачи, методы решения которых на данный момент совершенно не ясны. Увидели вы и задачи, которые есть смысл решать, привлекая аналогию. К последнему виду вы, скорее всего, отнесли задачи:

Решить систему уравнений:

Найти координаты точек пересечения графиков функций:

(Квадратичная функция, 2004, с. 217.).

Таким образом, через перебор возможных целей изучения математического объекта учащиеся приходят к конкретным целям изучения темы.

Цели предстоящей деятельности могут быть выделены учащимися с помощью типа текстов, которые можно назвать «текст — проблематизация». В них перед школьниками явно не ставится задача определить цель. Однако текст конструируется таким образом, чтобы учащиеся имели возможность осознать разрыв или, напротив, связь между их прошлым опытом и новой задачей. Этот момент в тексте и является основой постановки цели будущей деятельности. Иными словами, текст должен создавать «пространство поиска», обеспечивать возможность понимания проблемы. При этом, как отмечает Ж. Ришар, «минимальный смысл „понимания проблемы“ состоит в отыскании интерпретации, которая позволила бы определить пространство поиска» (Ришар, 1998, с. 61).

Приведем фрагмент этого типа учебного текста, создающего условия для постановки учащимися цели деятельности, позволяющей найти способ решения квадратного уравнения ах² + Ьх + с — 0 (а Ф 0) (тема «Квадратные уравнения», 8-й класс).

Решите уравнения:

• 1. х² — 0,81 = 0; 5. X² — 2х + 1 = 0;
• 2. 7х² — 70 = 0; 6. х² — 2х + 1 = 25;
• 3. 0,3х² + 43 = 0; 7. х² — 2х — 24 = 0;
• 4. (х + I)² — 0,81 = 0; 8. х² + 6х + 40 = 0.

Можно ли утверждать, что каждое из этих уравнений удастся привести к виду? ² = г?

Какие методы решения уравнений такого вида вам известны? Всегда ли такие уравнения имеют корни?

(Квадратные уравнения, 2002, с. 31.).

Первые три уравнения; х² — 0,81 = 0; 7х² — 70 = 0; 0,3х² + 43 = 0 дают возможность систематизировать знания учащихся о решении неполных квадратных уравнений вида ах² + с = 0, выделяя методы их решений и исследуя их. Четвертое уравнение задает структуру уравнений Ш² = г, которые можно решить, используя методы решения неполных квадратных уравнений.

Характеризуя знания, необходимые для планирования, Ж. Ришар пишет: «Чтобы применить способ планирования, необходимо хорошо рассмотреть ситуацию или, по крайней мере, область, составляющую часть этой ситуации. С другой стороны, нужно, чтобы это знание было концептуализировано, т. е. чтобы его можно было эксплицировать в новые условия» (Ришар, 1998, с. 193).

Итак, работа над первыми четырьмя уравнениями позволяет обобщить знания учащихся о неполных квадратных уравнениях, которые могут быть приведены к виду? ² = г и решены с помощью соответствующих методов.

Следующие четыре уравнения являются полными квадратными уравнениями. Возникает вопрос о возможности их приведения к виду? ² = г, о путях соотнесения опыта работы с первыми четырьмя уравнениями и новой ситуацией. Именно на этом этапе работы с текстом учащиеся приходят к необходимости определить цель деятельности.

Уравнения х² — 2х+1 = 0их² — 2х + 1 = 25 в своей левой части содержат трехчлен, который легко привести к виду Ш² = г. В уравнениях под номерами семь и восемь предстоит проделать некоторые преобразования, чтобы привести их к виду усложненного неполного квадратного уравнения. Так рождается цель работы с полным квадратным уравнением, дающая возможность решить его: надо, выделив квадрат двучлена, привести уравнение к виду ?² = г.

Продолжение этого текста выглядит следующим образом.

Прежде чем применить тот или иной метод решения уравнений, мы выделили в левой части уравнения х² — 2х — 24 = 0 полный квадрат.

А что если выделить полный квадрат в левой части уравнения.

(Квадратные уравнения, 2002, с. 32.).

Последний вопрос задает цель деятельности при решении квадратного уравнения общего вида, задает общий план деятельности.

А. Н. Леонтьев пишет: «Для того чтобы возбудить интерес, не нужно указывать цель, а затем пытаться мотивационно оправдать действие в направлении данной цели, а нужно, наоборот, создать мотив, а затем открыть возможность нахождения цели (обычно целой системы промежуточных и „окольных“ целей) в том или ином предметном содержании» (Леонтьев, 1983, с. 13—14).

В работе В. В. Заботина определяются условия и барьеры целеполагания. Одним из таких барьеров автор считает «зависимость от старых установок и образов, обладающих значительной консервативной силой» (Заботин, 1975, с. 8). Именно поэтому полезен текст — проблематизация, который помогает бороться с инертностью мышления, стимулирует школьников к переоценке прежних целей деятельности и поиску новых.

Например, изучая график линейной функции, учащиеся приходят к методу его построения на основе использования определения графика функции. При этом целью их деятельности является поиск гипотезы о плане построения графика линейной функции с помощью анализа множества точек, полученных в ходе применения определения графика функции. Известно, что подобная деятельность, как правило, не приводит к гипотезе о плане построения графика квадратичной функции, В связи с этим полезен текст — проблематизация, дающий учащимся возможность осознать препятствия в использовании прошлого опыта для поиска плана построения графика. Приведем фрагмент такого текста и сделаем по его ходу ряд пояснений (тема «Квадратичная функция», 9-й класс).

Как выглядит график функции у = ах² + Ьх + с? Как научиться его строить? Вспомним, как мы раньше решали задачи о построении графиков функций, например, таких: у = кх;у = кх + Ъ.

Сначала мы опирались на определение графика функции. Составив таблицу значений функции, мы строили полученные точки в системе координат, Конечно, указать все точки, координаты (х;у) которых удовлетворяют равенству у = кх (или у = кх + Ь), было невозможно, так как областью определения функции является множество всех действительных чисел. Однако эти точки помогли увидеть свойства искомого графика. Такая работа дала возможность получить способ построения графика линейной функции.

Позже, обратив внимание на взаимное положение графиков функций у = кхиу = кх + Ь, мы пришли к выводу, что график функции у = кх + Ъ можно было бы получить из графика функции у = кх путем параллельного переноса на b единиц вдоль оси Оу (текст, концептуализирующий прошлый опыт учащихся).

Можно ли воспользоваться этим опытом при построении графика квадратичной функции, напримеру = —2х² + 12х — 14? (постановка проблемы).

(Квадратичная функция, 2004, с. 48.).

Отвечая на этот вопрос, учащиеся, по всей вероятности, начнут с составления таблицы значений функции и нанесут соответствующие точки на координатную плоскость. Затем они попытаются соединить построенные точки плавной линией. Если учитель будет терпелив и даст учащимся достаточно самостоятельности в выполнении этого задания, то окажется, что графики у учащихся получились различными. Поэтому появляется необходимость доказать, что полученная линия является графиком именно данной функции.

Сомнения и размышления учащихся относительно возникшей ситуации по построению графика квадратичной функции отражаются в последующем тексте. Приведем его фрагмент.

Будем, как и в прежних случаях, опираться на определение графика функции.

Составим такую таблицу значений функции:

Построим полученные точки на координатной плоскости. К сожалению, на рисунке изобразить все полученные точки не удается, А построенных точек явно недостаточно для того, чтобы получить представление о всем графике. Можно, конечно, продолжить заполнение таблицы, взять поменьше шаг, увеличить число точек. Но сколько новых точек взять и каких?

Может быть, мы получим какую-нибудь подсказку, если обратимся к свойствам квадратичной функции или рассмотрим различные аналитические способы ее задания?

(Квадратичная функция, 2004, с. 48—49.).

В итоге учащиеся приходят к идее последовательного изучения графиков частных видов квадратичной функции: у = х²; у = ах²; у = сос² + п; у = а (х — т)²;у = а (х — т)² + п для получения алгоритма их построения, а затем и графика/ = сос² + Ьх + с.

Таким образом, мы рассмотрели примеры двух текстов — проблематизаций, которые помогают школьникам определить цели предстоящей деятельности. Оба стимулируют учащихся к рефлексии прошлого опыта, В первом случае такого рода рефлексия помогает определить и цель предстоящей деятельности, и средства ее реализации. Во втором случае учащиеся обнаруживают дефицит прошлого опыта для решения новой задачи, что и помогает им определить цель деятельности и стимулирует их к поиску новых средств решения возникшей проблемы.

Как можно заметить, текст — проблематизация, как правило, содержит вопросы «можно ли?», «всегда ли?», «как вы думаете?», «правомерно ли?» и т. п.

Анализируя функции разных элементов учебной книги, некоторые авторы отмечают важную роль заголовков в организации познавательной деятельности учащихся с помощью учебника. «При работе с заголовком в миниатюре происходит все то, что потом будет происходить со всем текстом. Заголовок актуализирует нужные знания человека» (Граник, Концевая, Бондаренко, 1991, с. 49).

Заголовок, в частности, может стать стимулом для обсуждения с учащимися целей предстоящей деятельности и, возможно, путей ее реализации. Приведем несколько примеров таких заголовков в разработанных нами текстах: «Что больше: 0,83 или 0,9?», «Выбираем способы решения квадратных уравнений», «Распознаем квадрат суммы», «Применяем формулу квадрата суммы в разных ситуациях». Пример работы с заголовком «Как десятичные дроби записать в виде обыкновенных, а обыкновенные — в виде десятичных» и выход на индивидуальные цели учебной деятельности описан в методическом пособии (Обогащающая модель обучения в проекте МПИ, 2002, с. 145—149).

Таким образом, к текстам, способствующим развитию у учащихся способности к целеполаганию, отнесем следующие типы учебных текстов (или их вспомогательные элементы):

• • тексты, где специально ставится задача поиска целей;
• • тексты, в которых осуществляется поиск целей деятельности через перебор заданных или ранее известных целей;
• • тексты, в которых явно не ставится задача определить цель деятельности, но которые стимулируют поиск целей с помощью ревизии прошлого опыта в связи с вновь возникшей проблемой;
• • тексты, являющиеся введением в объяснительные тексты и содержащие вопросы, мотивирующие учащихся к самостоятельной постановке цели деятельности;
• • заголовки к текстам, определяющие цель предстоящей деятельности.

После определения целей предстоящей деятельности учащиеся приступают к непосредственному построению планов деятельности.

Рассмотрим тип текстов, которые развивают умение выстраивать планы собственной интеллектуальной деятельности на основе выделения последовательности умственных действий, а именно «текст — построение плана».

Остановимся на текстах, адресованных школьникам 7-го класса, которые приступили к систематическому курсу алгебры. Учащиеся познакомились с новыми алгебраическими понятиями: одночленами и многочленами.

Цель последующей деятельности определяется исходя из анализа опыта работы с числами: надо научиться выполнять действия над новыми математическими объектами. Теперь возникает проблема построения таких правил, предписаний, алгоритмов.

В этих случаях оказываются полезными тексты, в которых учащиеся самостоятельно получают соответствующие алгоритмы действий, используя «восходящий способ планирования». Восходящий способ планирования включает три процесса: 1) восстановление в памяти плана, известного для другой ситуации, опознаваемой в качестве похожей, и адаптация этого плана к особенностям актуальной ситуации; 2) абстрагирование плана исходя из толкований процедуры в ходе его разработки; 3) пересмотр планов после их исполнения, в результате которого была установлена их неадекватность (Ришар, 1998, с. 191).

Анализ этих процессов говорит о том, что в качестве текстов, развивающих у учащихся умение осуществлять «восходящий способ планирования», могут выступать, в частности, учебные тексты, включающие использование аналогии.

К условиям, способствующим осуществлению переноса по аналогии, Ж. Ришар относит следующие: цель, которую нужно достичь, должна быть одной и той же в двух ситуациях; существует процедура, известная для одной ситуации; предварительные требования, необходимые для осуществления процедуры, полностью соблюдаются в новой ситуации, для которой не существует процедуры (там же, с. 84).

Проанализируем, каким образом данные условия учитываются в следующих текстах. Приведем текст по теме «Знакомимся с алгеброй» (7-й класс), раздел «Сложение и вычитание многочленов».

Чтобы понять, как выполняется сложение и вычитание многочленов, рассмотрим три примера.

Пример 1. Вычисление значений числового и алгебраического выражений.

Проведите вычисления:

Какими свойствами операции сложения чисел вы пользовались при выполнении задания?

Пример 2. Сложение чисел и многочленов.

В чем проявляется аналогия при сложении чисел и многочленов?

Пример 3. Сложение многочленов.

Зх² — 3ху — 7х²у; 5ху — Зх²; 7х²у — Зх².

Решение пеовое

Какое алгебраическое выражение получилось в результате?

Результат сложения многочленов договоримся называть суммой многочленов.

Сформулируйте алгоритм сложения многочленов.

Решение второе

Сформулируйте алгоритм сложения многочленов «столбиком».

(Знакомимся с алгеброй, 2004, с. 118—120.).

Как можно видеть, текст — построение плана, создающий условия для выработки учащимися правила сложения многочленов, состоит из трех примеров.

Первый и второй примеры содержат тексты, включающие две колонки. Этот факт сам по себе уже настраивает учащихся на особый вид деятельности. Анализ материала левых колонок дает возможность учащимся увидеть применение свойств сложения чисел при проведении вычислений. Эта процедура им известна. Форма подачи материала в правых колонках этих примеров способствует установлению аналогии. Учащиеся могут легко обнаружить возможность использования известных свойств сложения (а + Ъ) + с = а + (Ъ +с) иа + Ъ = = Ъ + а при выполнении действий над многочленами. То есть поиск плана действий осуществляется на основе выясненной аналогии (под аналогией понимается совпадение отношений между любыми объектами, независимо от их качественной определенности).

Третий пример помогает школьникам сформулировать правило сложения, так как в нем представлена процедура сложения многочленов. Проверить результаты своей работы учащиеся могут, обратившись к тематическому словарю, который помещен в этой же учебной книге.

Сопоставление алгоритма, составленного самостоятельно, с предложенным в словаре также способствует формированию умения планировать собственную деятельность.

Обучение учащихся построению планов деятельности осуществляется при введении еще одной основной операции над многочленами — операции умножения. Один из параграфов учебной книги «Знакомимся с алгеброй» (7-й класс) называется «От умножения многозначных чисел к умножению многочленов». Приведем фрагмент этого текста, так как он дает возможность проследить, каким образом через специальное структурирование учебного материала создаются условия для составления плана учебной деятельности.

Рассмотрите таблицу, в которой описываются процедуры умножения чисел и умножения одночлена на многочлен. Попытайтесь сформулировать правила такого умножения.

Рассмотрите, как проведено умножение чисел 234 и 24:

234 • 24 = 234 • (20 + 4) = 234 • 20 + 234 • 4 =.

= (200 + 30 + 4) • 20 + (200 + 30 + 4) • 4 =.

= (4000 + 600 + 80) + (800 + 120 + 16) =.

= 4680 + 936 = 5616.

Сравните это умножение с умножением чисел 234 и 20.

Надеемся, вам теперь будет легко разобраться в том, как выполнено умножение следующих чисел и многочленов:

1. (2х² + Зх + 4) (2х + 4) =.

= (2х² + Зх + 4) • 2х + (2х² + Зх + 4) • 4 =.

= (2х² • 2х + Зх • 2х + 4 • 2х) + (8х² + 12х+ 16) =.

= 4х³ + 6х² + 8х + 8х² + 12х + 16 =.

= 4х³ + 14х² -I- 20х + 16.

(Знакомимся с алгеброй, 2004, с. 134—135.).

Данный текст представлен таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно могли обнаружить, что в позиционной записи числа «спрятаны» слагаемые, имеющие вид многочлена. Это поможет им сформулировать соответствующие правила умножения многочленов.

Тексты по составлению планов действий над многочленами создают условия для того, чтобы учащиеся смогли перенести план деятельности с многозначными числами на действия с многочленами, обобщая соответствующие операции.

Курс 7-го класса играет, на наш взгляд, большую роль в развитии у учащихся умений планировать свою деятельность, обобщать известные планы действий. Как отмечает Л. С. Выготский, «новое обобщение возникает не иначе, как на основе предыдущего. Это выступает очень отчетливо в том обстоятельстве, что параллельно с нарастанием алгебраических обобщений идет нарастание свободы операций. Освобождение от связанности числовым полем происходит иначе, чем освобождение от связанности зрительным полем. Нарастание свободы по мере роста алгебраических обобщений объясняется возможностью обратного движения от высшей ступени к низшей, содержащейся в высшем обобщении: низшая операция рассматривается уже как частный случай высшей» (Выготский, 1982, с. 279).

Итак, учебные тексты 7-го класса создают условия для формирования у учащихся умения проводить сложную аналитико-синтетическую деятельность, позволяющую конструировать планы решения возникающих проблем. Однако к такой работе с новым (алгебраическим) материалом учащихся следует подводить постепенно. В учебных текстах для 5—6-х классов созданы предпосылки для обогащения метакогнитивного опыта учащихся, тем самым подготавливается необходимый содержательный и психологический фундамент для систематического курса алгебры. Так, школьники учатся планировать, исходя из соображений преемственности между операциями в исходной и расширенной числовых системах. Тексты написаны в форме диалога, что дает возможность заострить внимание учащихся на соответствующих основаниях для такого переноса.

Тип текста, который мы назвали «текст — построение плана», может содержать образцы выполнения типичных примеров использования изучаемого алгоритма, обучать школьников работе с отдельными его шагами. Такие тексты, кроме того, должны включать задания, стимулирующие учащихся к поиску способов применения правила в ситуациях, когда оно «напрямую» не действует. Учащиеся, выполняя эти задания, соотносят новую цель с общей целью и находят стратегию действий. Причем в некоторых заданиях удается свести конкретный случай к общему, а в некоторых, исходя из общего правила, — сформулировать рациональные правила действий, которые стоит запомнить. Приведем фрагмент текста по теме «Рациональные числа», раздел «Умножение рациональных чисел» (6-й класс), ориентированного на развитие у учащихся способности изменять план действий в соответствии с ситуацией.

Нашептала Елена Прекрасная заговор заветный, и появилась на дороге перед Иваном застава. На заставе той щит стоит, на щите надписи.

И, как положено, солдаты заставу сторожат.

Заполни пустые клетки, — говорят, — тогда дальше путь откроется.

Стоит Иван-царевич, думает:

В чем секрет надписей-то? В умножении, наверное…

(Проверь, читатель, правильно ли надписи на щите сделаны, и пустые клетки заполни. Смекалка-то есть у тебя, стало быть, много времени не потратишь.).

(Математика-6. Ч. 2. Рациональные числа, 2005, с. 48.).

Проанализируем данный текст. Прежде всего учащиеся должны убедиться в том, что все клетки заполнены именно с помощью умножения, то есть действовать по предложенному плану. При этом им встретятся разные случаи умножения: умножение обыкновенных дробей на натуральное число; умножение смешанных дробей на натуральное число и т. д. В каждом случае учащиеся должны перейти от общего правила к его частному использованию. Причем школьникам предлагается попытаться оформить результаты своей работы в виде правила. С этой целью в текст введено авторское обращение — задание читателю.

Как Иван проверку закончил, так исчез щит, заставы не стало. Да и сама дорога кончилась, знать, разобрался он в умножении, можно назад поворачивать. И пошел Иван-царевич обратно.

• (А мы с тобой, читатель, немного отстанем. Видишь ли, дело в том, что Иван попутно кое-какие заметки сделал. Может, и у тебя, читатель, свои заметки появились, когда ты надпись со щита проверял и пустые клеточки заполнял. Сравни свои заметки с Ивановыми.)
• (Математика-6. Ч. 2. Рациональные числа, 2005, с. 50.)

Таким образом, нами выделено несколько типов текстов, которые развивают у учащихся умение планировать интеллектуальную деятельность по решению математических проблем. К ним относятся:

• • текст — программа;
• • текст — выбор цели;
• • текст — проблематизация;
• • текст — построение плана.