Теорема умножения вероятностей независимых событий

Теорема. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей:

Пример 3.13. Рацион питания с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидной железы у 60% животных некоторой популяции. Найдите вероятность того, что 4 случайно выбранных животных страдают увеличенным содержанием щитовидной железы.

Решение. Обозначим событие: А, — животное с увеличенным содержанием щитовидной железы, i = 1,2,3,4. По условию вероятность этого события /'(/!,) = 60% = 0,6. Вероятность совместного появления четырех независимых событий, т. е. изъято 4 животных с увеличенным содержанием щитовидной железы.

Пример 3.14. Некоторая вакцина эффективна на 80% в формировании иммунитета. Вакцинировали 2 человека. Найти вероятность того, что среди этих лиц: а) оба человека прибрели иммунитет; б) первый приобрел иммунитет, а второй — нет; в) оба не приобрели иммунитета.

Решение. Обозначим события: А — прибрел иммунитет первый человек; В — прибрел иммунитет второй человек.

а) Так как А и В независимые события, то вероятность того, что оба человека приобретут иммунитет:

б) Вероятность того, что первый приобрел иммунитет, а второй — нет:

в) Вероятность того, что оба не приобретут иммунитет:

Пример 3.15. Медсестра дежурит в трех палатах. Вероятность того, что в течение ночи потребует ее внимания первая палата равна 0,4, вторая — 0,35, третья — 0,3. Найти вероятность того, что в течение ночи потребуют к себе внимания медсестры: а) все палаты; б) первая и вторая палаты; в) по крайней мере одна из трех палат (событие ?); г) какие-либо две палаты (событие F).

Решение. Обозначим события: А — потребует внимания медсестры 1-я палата, В — 2-я палата, С — 3-я палата, D — какиелибо две палаты.

а) Так как события А, В и С независимы, то вероятность того, что осуществятся все эти три события, по теореме умножения вероятностей:

б) Вероятность того, что осуществятся события А и В:

в) Предварительно найдем вероятность не искомого события Е, а противоположного ему события Е — все три палаты не потребуют к себе внимания медсестры. Событие А (не потребует внимания 1-я палата) является противоположным событию А, следовательно,

Аналогично будем иметь:

Так как события А, В и С— независимы, то.

Тогда вероятность искомого события Е:

г) Событие F будет осуществлено, если наступит одно из трех несовместных событий:

• 1) первая и вторая палаты потребуют внимания медсестры (событие А и В), а третья — нет (событие С);
• 2) первая и третья палаты потребуют внимания (событие А и С), а вторая — нет (событие В);
• 3) первая палата не потребует внимания (событие А), а вторая и третья — потребуют (событие В и С).

Вероятности в каждом из перечисленных возможных исходов найдем по теоремам сложения и умножения независимых событий. Подставив данные примера, получим.

Пример 3.16. Пусть вероятность того, что некое лицо умрет на 81-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что из трех лиц 80 лет через год будут живы: а) все; б) по крайней мере один?

Решение. Обозначим события: А — все живы; В — по крайней мере один. Определим вероятности этих событий, т. е. Р (А) и Р (В).

а) Вероятность того, что 1-е лицо 80 лет через год будет живым (событие А) равна Р (А₁) = 1-Р (А₁), 2-е лицо — Р (Л₂) = = 1 -Р (А₂ 3-е лицо — Р (А_ъ) = -Р (а₃).

Так как А, А₂, Аз — независимые события, то вероятность того, что все три лица будут живы по теореме умножения вероятностей.

б) Рассматриваемые события А, (умерло 1 -е лицо), А₂ (умерло 2-е лицо) и А₃ (умерло 3-е лицо) — независимы. Следовательно, вероятность того что rce тли пипа VMnvr / событие R V.

События В (по крайней мере один жив) и В (все умерли) — противоположные, отсюда искомая вероятность.

Вероятность события близка к единице, следовательно, это событие можно считать практически достоверным. Это означает, что почти всегда из трех лиц восьмидесятилетнего возраста по крайней мере один доживет до 81 года.