Косвенные измерения. 
Метрология, стандартизация и сертификация

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи где х_ь х₂, х_п — подлежащие прямым измерениям аргументы функции У.

Очевидно, погрешность в оценке У зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимно независимы и взаимно зависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность.

относительная.

и С КО функции.

где частные производные с1//(1х_{, с1//сЬс₂… вычисляются при х_х = х₂, х_х= х_{ …, а величины Ах_{, Дг₂… определяют, например, с помощью коэффициентов Стыодента для одного и того же значения доверительной вероятности.

При вводе Ь_х = ?У/(Ьс_{ — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию У ее абсолютная погрешность составит.

Тогда относительная погрешность определяется как.

где  — относительный коэффициент влияния.

Аналогично если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то.

Если аналитические функциональные связи вида (1.19) не установлены, то при разработке методики выполнения измерений можно использовать опытные значения Ь_х и В

где ДУ — изменение функции, вызванное изменением Д_г/ /-го аргумента; У и х₁ — средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде У = У ± ДУ при вероятности Р.

В качестве практических рекомендаций можно использовать следующие положения:

• — если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать;
• — для коэффициентов влияния в пределах 0,001−0,050 (0,1−5,0%) требования к точности их измерения невелики (2−5%);
• — если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования к точности информации повышаются до 1,0% и более.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции.

Значения р лежат в пределах -1 <�р <+1. При р = 0 величины взаимонезависимы. Однако, если даже р = 0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют ?-критерий.

Если расчетное (по формуле 2.25) значение ЗЬ< р, то взаимосвязь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если р < 0,20—0,25, корреляционную связь считают несущественной.

При наличии взаимосвязей между и х-_} с учетом уравнений (2.20)—(2.23).

где г =1, 2,…, г,…, к, п.

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения парных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов х, у иг

Коэффициент Я всегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина 2 находится в зависимости от х и у как 2 = ах + Ъу + с, то влияние величины х на изменение г оценивают частным коэффициентом корреляции.

Аналогично определяется р_х (г, у). Частные коэффициенты корреляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты линейной корреляции.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включает следующие этапы.

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют выборочные средние и выборочные стандартные отклонения.

2. Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематические погрешности в виде СКО.

где характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округлений и т. п.

3. Находят выборочное среднее функции по т аргументам с учетом коэффициентов влияния.

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и систематических составляющих функции.

5. Сравнивают

• а) если ст-о < Ст|7_д, то результат записывают в виде У = У + А_с при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервал Д_с находят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле (2.13) Д_с = у _Ро у_л',
• б) если а-" > суу7д, то результат записывают как У = У, при Р = а и а-«;
• в) если <7_^ и стрд сравнимы, то результат представляют в виде У = У;

СУ—о I, а у_Л.

УД ^УЛ

Доверительные границы результатов косвенных измерений можно оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предварительно оценив неисключенную составляющую систематической погрешности косвенного измерения как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции (2.19) в виде

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые погрешности аргументов, при которых общая погрешность не превысит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность, заранее установив требования к точности измерения, подобрать соответствующую аппаратуру.

Пример 2.8. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива g_e, который может быть представлен в виде функции величин, измеряемых прямым методом:

где С их — доза топлива и время ее расхода; п_л — постоянная частота вращения двигателя за время т" се измерения; М_е — крутящий момент на валу двигателя.

Тогда.

В соответствии с ГОСТ 14 846–69 величина g_e должна быть измерена с точностью до 1%. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то Однако известные методы не позволяют измерить М_е с точностью выше ± 0,5%, а С выше ± 0,2%. В то же время частоту вращения и временные интервалы имеется возможность измерять более точно — с относительной погрешностью нс хуже ± 0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1) = ± 1,0%, что удовлетворяет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений прежде всего нужно стремиться снизить наибольшие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов У косвенного измерения и его погрешности) состоит в следующем:

• — предполагают достаточную гладкость функции (2.19);
• — разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргументах,;
• — исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая малость погрешностей оценок аргумента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не менее точный подход, основанный на методе математического программирования, сводящий аналитическую задачу к вычислительной. При этом в информадии о законе распределения аргумента нет необходимости. В качестве оценки У принимается полусумма максимального и минимального значений функции У, а оценки абсолютной погрешности — нолуразность этих значений:

Тогда относительная погрешность.

Пример 2.9. Измерение мощности Р в активной нагрузке сопротивлением Л = = 100 Ом ± 5 Ом определяется с помощью вольтметра класса точности у = 1,5 с пределом измерения 11_г= 300 В. Оценить измеренную мощность и погрешность, если прибор показал 11_п = 240 В.

Решение. 1. Предел абсолютной погрешности вольтметра составляет.

2. Относительная погрешность С/ и Я составит.

3. Из уравнения косвенного измерения Р= 1Р/Л находим.

4. По формулам (2.27) и (2.28) находим оценки.

Надо отмстить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока еще не нашла должного понимания, хотя знание их позволяет целенаправленно вести работу не только при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании (ТО) и ремонте, выборе соответствующих средств и методов измерения. Зачастую эго формирует и требования к режимам эксплуатации ТС.