Порядковая шкала. 
Теория и практика измерения латентных переменных в образовании

Порядковая шкала, или шкала порядка, более сложная, чем шкала наименований. Она классифицирует не по принципу «эквивалентно — неэквивалентно», а, но принципу «больше — меньше». Если в шкале наименований было безразлично, в каком порядке располагались классификационные ячейки, то в порядковой шкале они образуют последовательность от ячейки «самое малое значение» к ячейке «самое большое значение» (или наоборот). Ячейки теперь уместнее называть классами (или категориями). Это обусловлено тем, что именно по отношению к ним используются определения «низкий», «средний», «высокий» класс или первая, вторая, третья категория и т. д.

Порядковую шкалу можно использовать тогда, когда для множества измеряемых объектов выполняются следующие свойства.

• 1. Отношение равенства (эквивалентности — неэквивалентности), т. е. для любых двух объектов А и В такой критерий позволяет установить истинность одного из следующих утверждений: А = В или А Ф В.
• 2. Отношение порядка. Так, в случае Л Ф В устанавливается истинность одного из следующих утверждений: А> В или А < В.
• 3. Транзитивность отношения порядка. Это означает, что для любых трех объектов Л, В, С, таких, что А > В и В > С, должно быть верным неравенство А > С; также для любых трех объектов Л, В, С, таких, что Л = В и В = С, должно быть верным равенство А = С.

Примером порядковой шкалы являются оценки успеваемости в школе.

На первый взгляд кажется, что эти свойства всегда выполняются и, следовательно, всегда можно использовать порядковую шкалу. Однако это не так. Например, необходимо упорядочить трех шахматистов, но результатам сыгранных ими партий (каждая пара шахматистов играет одну партию). Естественно предположить, что игрок Л сильнее игрока В, если Л выиграл партию у В. Однако транзитивности при таком упорядочении нет. Действительно, если Л выиграл у В, а В выиграл у С, то это еще не означает, что Л обязательно выиграет у С. Шахматисты ранжируются с помощью специальной процедуры определения их рейтинга.

Принципиальным отличием шкалы порядка от шкалы наименований является то, что шкала порядка упорядочивает объекты по тому или иному признаку. Тем самым вводится важнейшее понятие — измеряемое свойство. Переходным вариантом шкалы наименований к порядковой является дихотомическая классификация: 1 — «есть свойство», 0 — «нет свойства».

Важным аспектом является число классов в порядковой шкале. По определению в порядковой шкале должно быть не менее грех классов, например «положительная реакция — нейтральная реакция — отрицательная реакция». Однако все многообразие объектов нерационально помещать только в три класса, потому что в один и тот же класс могут попасть объекты, достаточно сильно отличающиеся друг от друга. Кроме того, чем больше классов в шкале, тем больше возможностей для проверки статистических гипотез (тем больше разрешающая способность статистических критериев). С другой стороны, если число классов равно числу объектов, как, например, в принудительном ранжировании, т. е. опасность искусственного преувеличения различия между объектами.

На практике выходом из положения является использование дробной классификационной системы, как правило, из 10 классов, или градаций, признака. От классов легко перейти к числам, если, например, условиться, что низший класс получает ранг 1, средний класс — ранг 2, а высший класс — ранг 3, или наоборот.

В порядковой шкале неизвестно истинное расстояние между классами, неизвестно также, равны эти расстояния или нет. Известно лишь то, что они образуют последовательность. Значения величин можно заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т. д. При таких монотонных преобразованиях места объектов на порядковой шкале не меняются.

Единица измерения в шкале порядка — расстояние в 1 класс или в 1 ранг, при этом, еще раз подчеркнем, расстояние между классами и рангами может быть разным.

Шкалы порядка, наверное, чаще других шкал используются как в педагогике, так и в психологии. Все психологические методы, использующие ранжирование, построены на применении шкалы порядка. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование способностей личности.

Измерения по шкале порядка обладают всеми свойствами и возможностями измерений по шкале наименований и некоторыми новыми свойствами.

Количество классов, или рангов, которые приписываются объектам, зависит от числа различаемых состояний измеряемого свойства в этих объектах. Если можно различить, например, 5 различных состояний, то порядковая шкала будет составлена из 5 чисел, представляющих монотонно возрастающую или убывающую последовательность. В монотонно возрастающей (убывающей) последовательности каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

Поскольку шкала порядка устанавливает только отношения равенства и порядка, то для приписывания объектам могут быть использованы любые пять чисел, которые можно расположить в порядке возрастания (убывания), например: 1, 2, 3, 4, 5 или 2, 4, 8, 16, 18.

Поэтому результаты арифметических действий с такими измерениями зависят не только от свойств объектов, но и от выбора балловых оценок. Это означает, что с числами или рангами, которые присвоены объектам, нельзя выполнять арифметические операции: вычислять суммы, находить средние значения, дисперсии и другие параметры.

Однако существуют характеристики выборки объектов, которые остаются неизменными при любой «-балльной системе оценок состояния измеряемого свойства. Кроме моды (класса с наибольшим числом объектов) такой характеристикой является медиана. Медиана — это такое значение на порядковой шкале, которое превосходит по состоянию измеряемого свойства 50% объектов выборки и меньше которого остальные 50% объектов. Медиана является мерой центральной тенденции выборки.

В порядковой шкале мера рассеивания значений измеряемого признака в выборке характеризуется с помощью квантилей. Квантиль — это значение на порядковой шкале, которое делит выборку на две части с известными пропорциями объектов в каждой из них.

Наиболее часто используемыми квантилями являются квартили, децили и процентили. Квартили — три значения (Q1, Q2, (2?), которые деляг совокупность на четыре равные части (кварты). Четвертая часть объектов выборки лежит ниже Q1> половина объектов находится ниже Q2 (медианы), три четверти объектов — ниже Q3. Аналогично девять децилей делят объекты выборки на десять равных частей, а 99 процентилей делят выборку на 100 равных частей. Очевидно, что децили, а тем более процентили используются только в случае больших выборок.

Для обработки данных, полученных с помощью порядковой шкалы, можно использовать все статистические процедуры, которые применимы к данным, полученным в шкале наименований. Кроме того, можно использовать:

• • медиану — в качестве меры центральной тенденции выборки;
• • квантили — в качестве меры разброса объектов выборки по тому или иному показателю;
• • так называемые ранговые критерии, которые позволяют проверять статистические гипотезы именно на основе рангов, например коэффициент ранговой корреляции Спирмена для определения взаимосвязи между двумя выборками, критерий для сравнения двух зависимых выборок и др.

Однако необходимо еще раз подчеркнуть, что числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать.

Также следует отметить, что данная шкала является основой для построения многих шкал: Тёрстоуна, Гутмана, Лайкерта и др.