Моменты основных распределений непрерывного типа

Рассмотрим вспомогательную задачу.

Задача 2.31. Пусть СВ Х~ F_x(x) и ее плотность есть/_v(.r), Y = АХ + В, где А и В — const. Найти MY и DY.

Решение

Далее эти формулы могут использоваться при вычислении линейно связанных случайных величин.

1. Равномерное распределение. СВ X — R[a b] с плотностью fx (x); СВ Х₀ ~ /ДО; 1] с плотностью Вычислим моменты для СВ Х₀, а потом пересчитаем их для СВ X, используя формулу перехода X = Х_а(Ь — а) + а:

2. Нормальное распределение. СВ Х_п ~ N (0, 1) с плотностью /_А.₍₁(, г); СВ X ~ N (a, ст) с плотностью/_Х(х), где.

Х-а.

Связь СВ X и Х₀: Х₀ =-=> X = Х₀а + а.

По формулам перехода рассчитываем момент для СВ X — N (a, а):

Таким образом, MX = а, DX = а². В этом состоит вероятностный смысл параметров нормального закона.

3. Гамма-распределение. СВ X — Г_оД с плотностью.

оо где, а > ОД > 0 — const; Г (а) = [x^a~'e~^rdx — гамма-функция.

о Моменты:

1 1.

За. Экспоненциальное (показательное) распределение. СВ.

X ~ Е (Х) с плотностью.

MX и DX получаем из и. 3 подстановкой, а = 1 MX = г-; DX = —j.

АЛ.

4.^{-распределение} имеет сумма квадратов приведенных нор;

П

мальных независимых СВ, т. е. X ~ ⁼ Z^o, где Х_п ~ Л^г((), 1). В гл. 4.

!' = 1 ' ' ₀

• 2 2 ^{а И}'² будет показано, что СВ х" ~Г _=? ь и тогда МХ" = д = -у = N;
• 0 а д-4

°^Х" ^{= =} ~2 ^{= 2П}'

5. Бета-распределение. Обозначение: СВ — В_{;) ц}. Плотность распределения.

Найдем n-й начальный момент Х" бета-распределения: