Математические выражения. 
Математика: логика, теория множеств и комбинаторика

В данном пункте мы рассмотрим основные правила образования математических выражений, представляющих собой обозначения предметов (гермы) или предложения (формулы). Математические выражения — это осмысленные последовательности букв (знаков). Приведем наиболее употребительные знаки, используемые для построения выражений.

• — Знаки цифр: 0, 1, 2,…, 9.
• — Буквы, в основном латинского (А, В, С, …" Z, а, Ь, с, z) и греческого алфавита (А, В, Г, …, Q, а, р, у, со). Реже используют другие алфавиты, например русский (для обозначения наибольшего общего делителя, сокращенно НОД). При этом буквы могут быть строчные, заглавные (в математике буквами А и а принято обозначать разные объекты), возможно, с индексами вверху или внизу, штрихами и т. п.

Если буква обозначает какой-то конкретный объект, она называется константой. Часто буква обозначает произвольное значение из некоторого заранее определенного множества М. Такая буква называется переменной (более точно, переменной по множеству М). Вместо одной буквы иногда используют комбинации букв.

• — Знаки операций: + (сложение), • (умножение),: или / (деление), — (вычитание). Кроме указанных знаков используются другие. Вообще, под операцией в математике понимают правило, по которому произвольно выбранным объектам из заранее данного множества ставится в соответствие однозначно определенный объект того же множества. При сложении числам (-7) и 3,5 соответствует число (-3,5). В этом смысле нахождение производной функции тоже операция, обозначаемая штрихом ' (каждой дифференцируемой функции ставится в соответствие некоторая новая функция). Укажем здесь также знак интеграла}.
• — Знаки отношений: = (равенство), (больше), II (параллельность), _L (перпендикулярность) и другие.
• — Знаки скобок: (,),[,], {,}.

Некоторым комбинациям математических знаков мы придаем смысл. Например, последовательность 2+3 означает, что рассматривается сумма чисел 2 и 3, выражение 4:2=2 говорит о том, что, разделив 4 на 2, получим 2, выражение «г=5+>' понимается как уравнение с двумя переменными. Следующие последовательности знаков не имеют самостоятельного смысла: -2+, 3+<4.

Рассмотрим основные виды выражений, имеющие математический смысл.

Во-первых, это имена (то есть обозначения) объектов.

Пример 1.2.1. Выражения 5, 3+4, 10:2+2, к — это имена чисел (к — это обозначение числа «пи»), sin — имя функции синус, N (жирная печатная буква «эн») — обозначение множества натуральных чисел. •.

Во-вторых, рассмотрим выражение, содержащее переменные, после подстановки вместо которых определенных имен объектов получается снова имя некоторого объекта. Такое выражение называют именной формой.

Пример 1.2.2. Рассмотрим именную форму хГ+2. Если в это выражение вместо .г подставить 2, то получится выражение 2²+2, это есть новое имя числа 6, если вместо, т подставить (-1), получится выражение (-1)²+2 — имя числа 3. Другие примеры именных форм: а+Ь, (5л+у)², sin (ap)+l. •.

Комбинации знаков рассмотренных двух видов называют термами. В школьном курсе математики термы, составленные из чисел и переменных по числовым множествам с помощью знаков сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в рациональную степень, называются алгебраическими выражениями.

Такие выражения еще нс имеют логического смысла, то есть нс являются ни высказываниями, ни предикатами.

Для того чтобы получить предложение, относительно которого можно будет говорить, истинно оно или ложно, надо соединить термы знаками отношений, например 3+4=10:2+2, 5=3+4, 7>5. Первое и третье выражения определяют истинные высказывания, второе выражение есть ложное высказывание.

Пример 1.2.3. Рассмотрим прямоугольник ABCD, смежные стороны АВ и ВС которого обозначим буквами и и v. Тогда выражение w±v определяет истинное высказывание, а выражение и v-ложное высказывание.

Соединив термы (5л+у)² и л+2, где х и у- переменные, знаком меньше, получим предикат (5д+у)² <�х+2.

Предикат «Произведение чисел х и у равно 1» на математическом языке можно записать так: ху = 1. •.

Иногда одно и то же выражение может трактоваться по-разному.

Пример 1.2.4. Выражение у — 1 — это предикат от переменной у. С другой стороны, имеем обозначение функции, которая при всех значениях аргумента принимает значение, равное 1. Такую функцию можно обозначить каким-нибудь символом, например жирной единицей 1. •.

Пример 1.2.5. Рассмотрим такое выражение: (*²) u-з⁼ 6. Здесь записано, что производная функции у = х² в точке 3 равна 6. Это истинное утверждение. Буква х в данном выражении используется для обозначения аргумента функции. Если вместо * подставить конкретное число, получится бессмысленная запись, например (2²) |2=з ⁼ 6 или (з²) |з=з = 6. •.

Таким образом, не любой букве выражения можно придавать конкретные значения. Говорят, что буква * в рассмотренном выражении является связанной переменной.

Другой пример: терм JV’cLv содержит связанную переменную х и о.

является именем числа 0,25. Можно сказать, что связанная переменная используется как неотделимая часть в обозначении какого-то объекта. Переменная, которая допускает, что вместо нее можно подставить допустимое значение, называется свободной.

Упражнение. Объясните, что за переменные мы имеем в следующих формулах дифференцирования: (uv)' = w’v+mv', (х²)' = 2х. Какое равенство определяет высказывание, а какое предикат?

Определим для целых чисел два знака отношений | и :. Пусть а и b — целые числа. Говорят, что число а делится на число />, или, по-другому, b является делителем а, если существует целое число q, такое, что а = bq. Фразу «а делится на Ь» записывают аЬ, а фразу «Ь — делитель а» или «Ь делит а» — b а. Если а нс делится на b, то пишут alb. Можно также использовать знак отрицания и писать 1 (а':Ь) или а:Ь.

Пример 1.2.6. 12:4 (12 делится на 4) или 4 | 12 (4 делит 12), так как 12 разлагается в произведение чисел 4 и 3, то есть для целого числа 3 имеем 12=4−3. При этом 1228, так как нс существует целого числа q, при котором было бы верно равенство 12=8 q. Действительно, последнее равенство возможно только при одном q, равном отношению чисел 12 и 8, которое равно не целому числу 1,5. •.

Любое целое число а, нс равное 0 и 1, имеет по меньшей мерс два натуральных делителя (единицу I и само а) и четыре целых делителя (1,-1, а, -а). Натуральным делителем единицы является только она сама. Натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя, называется простым, а число, имеющее более двух натуральных делителей, составным. Число 1 нс относится ни к простым числам, ни к составным. Простые числа, не превосходящие 20, таковы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Заметим, что в общем случае запись аЬ или b а определяет двуместный предикат, так как знаки | и : — это знаки отношений. Л знак деления: или / - это знак операции. Напомним, что операция обязательно имеет результат во множестве рассматриваемых объектов. Например, запись 12:4 означает, что производится операция деления, и этот терм является именем числа 3. В общем случае выражение а:Ь есть герм, обозначающий частное от деления числа а на число Ь.

Если число а не делится на число /?, то частное чисел а и b является не целым числом. Однако в этом случае можно рассмотреть неполное частное. Для этого нужно разделить, а на b с остатком, то есть представить число а в виде a=bq+r> где q (неполное частное) и г {остаток) — целые числа, причем остаток г неотрицателен и меньше абсолютной величины числа Ь. Если b не ноль, то числа q и г всегда существуют и определены однозначно. Этот факт будет строго доказан в курсе теории чисел. На практике, чтобы найти частное и остаток при натуральных числах а и />, нужно выполнить известную процедуру деления столбиком. Теперь можно сказать, что делимость числа а на ненулевое число b означает, что при выполнении операции деления а на b с остатком получается остаток г, равный 0.

Комбинация математических знаков, представляющая собой символическую запись высказывания или предиката, называется формулой. Если формула содержит свободные переменные, то при каких-то значениях переменных она может обращаться в истинное высказывание, а при каких-то значениях переменных — в ложное высказывание.

Пример 1.2.7. Рассмотрим формулу х+у=ху. При некоторых значениях переменных эта высказывательная форма является истинным высказыванием (дг=2; у=2, или д~1,5; >*=3), но при некоторых значениях она обращается в ложное высказывание (х=, у=2).

Теперь рассмотрим формулу (х+1)²=д²+1г+1. Эта формула обращается в истинное высказывание при подстановке вместо д любого числа. •.

Формула, которая принимает истинное значение при любой подстановке вместо свободных переменных допустимых значений, называется тождественно истинной. Формула, которая принимает ложное значение при любой подстановке вместо переменных допустимых значений, называется тождественно ложной.

Пример 1.2.8. Формулы (a-h)(a+b)=a²-b², дг²>0, sinx<2, где переменные а, b, д: обозначают произвольные действительные числа, тождественно истинны, а формула sin*>l тождественно ложна. •.

Тождественно истинное равенство называют тождеством.

а² -1.

Пример 1.2.9. Равенство-= а + есть тождество, так как при всех.

а-1.

допустимых числах а является истинным высказыванием. Однако при.

1, 1²-1 значении а, равном 1, левая часть равенства нс определена (терм ——— нс является именем никакого числа, потому что на нуль делить нельзя), а правая часть равенства равна 2. В этом случае принято говорить, что данное равенство является тождеством при а, не равном 1. •.

Обратим внимание на один тонкий момент. На любую записанную формулу, содержащую свободную переменную, можно смотреть двояко: с одной стороны, как на предикат, с другой стороны, как на высказывание. Например, выражение .v²>0 может пониматься как неравенство с переменной х. Оно может быть записано с целью нахождения множества корней. Также на это выражение можно посмотреть как на высказывание о том, что это неравенство верно при любых значениях х. Конечно, если нет никаких оговорок, мы имеем ложное высказывание. Однако при условии, что по каким-то причинам рассматриваются только ненулевые числа, неравенство л²>0 действительно определяет тождественно истинную формулу. Таким образом, что именно понимается под записанным выражением д" >0, зависит от контекста.